Рассмотрим на множестве Ci(L0) лексикографический порядок.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
13
-

ЛЕКЦИЯ


СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА


Алгебра

A

называется

Z
2
-
гр
адуированной

алгеброй

или

супералгеброй
,
если

A
=
A
0

A
1
,
где

A
i
·
A
j



A
i
+
j
(
mo
d

2)
,
i
,
j

Z
2
.

Определение
1

[
1
]
.
Z
2
-

градуированная алгебра GG
0

G
1

с заданным
на нём произведением [
-
,
-
] называется супералгеброй Ли, если выполняются
условия:

1.


[
x
,
y
] =

(
-
1)


[
y
,
x
]
для

любых

x

G

,
y

G

,

2.

(
-
1)


[
x
, [
y
,
z
]] + (
-
1)


[
y
, [
z
,
x
]] + (
-
1)


[
z
, [
x
,
y
]]

=

0

для любых
x

G

,
y

G

,
z

G


(супертождество Якоби).


Определение
2.

[
2
]
.
Z
2
-

градуированная алгебра
L
=
L
0

L
1

с заданным
на ней произведением [
-
,
-
] называется супералгеброй Лейбница, если
выполняются условия:

[
x
, [
y
,
z
]]

=

[[
x
,
y
],
z
]


(
-
1)


[[
x
,
z
],
y
]

для любых
x

L
,
y

L

,
z

L

, (супертождество Лейбница).


Заметим, что если в супералгебре Лейбница
L

для любых
x

L


и
y

L


выполняется тождество:

[
x
,
y
]

=

(
-
1)


[
y
,
x
],

то супертождество Лейбница легко преобразовать в супертождество Якоби.

Таким образом, супералгебры Лейбница являются обобщениями
супералгебр

Ли.

Очевидно, что четная часть
L
0

супералгебры Лейбница
L

является
алгеброй Лейбница.


Теорема 1.

[
2
]
.

Пусть
L



супералгебра Лейбница, принадлежащая
многообразию
Leib
n
,
m

с индексом нильпотентности, равным
n
+
m
1. Тогда
L

изоморфна одной из следующих двух неизоморфных супералгебр:

i
) [
e
i
,
e
1
] =
e
i
+1
, 1 ≤
i


n

1;
ii
)

(отсутствующие произведения равны нулю).


Замечание 1
.
Из теоремы 1 нетрудно видеть, что в случае
,

когда
нечетная часть
L
1

нетривиальна, мы имеем
m
=
n

при четном
n
+
m

и
m
=
n
+1

при нечетном
n
+
m
. Боле того, супералгебра Лейбница
L

имеет максимальный
нильиндекс тогда и только тогда, когда она является однопорожденной.

Пусть
L
=
L
0

L
1



комплексная
нильпотентная супералгебра Лейбница
.
Для

произвольного элемента
x

L
0

оператор правого умножения
R
x

является
нильпотентным эндоморфизмом пространства
L
i
,
i

{0,1}. Обозначим через
C
i
(
x
),
i

{0,1}, убывающую последовательность размеров жордановых блоков
оператора
R
x
. Рассмотрим на множестве
C
i
(
L
0
) лексикографический порядок.

Определение
3
.

Последовательность


назовем характеристической последовательностью для супералгебры
Лейбница
L
.


Одним из важных классов нильпотентных алгебр Ли и Лейбница
является класс
p
-
филиформных

алгебр. По аналогии с алгебрами Лейбница
для супералгебр Лейбница мы введем нуль
-
филиформные и филиформные
супералгебры Лейбница.

Определение 4
.

Супералгебра Лейбница
L

называется
нуль
-
филиформной, если
C
(
L
)

=

(
n

|

m
).

Определение
5
.

Супералгебра

Лейбница
L

называется филиформной,
если
C
(
L
)

=

(
n

1,

1

|

m
).

Приведем теорему о существовани
и

адаптированного
базиса в нуль
-
филиформн
ой

супералгебре Лейбница.

Теорема
2.

[
3
]. В произвольн
ой

супералгебр
е

Лейбница
L

из класса
ZF
n
,
m

существу
е
т базис
{
x
1
,
x
2
,

,
x
n
,
y
1
,
y
2
,

,
y
m
}

такой, что умножение в
L

имеет следующий вид:


Отметим, что классификация супералгебр Лейбница с
характеристической последовательностью (
n

|
m

1, 1)
и нильиндексом
n
+
m

получена в работе
[4
]
.

В следующей теореме представлена классификация супералгебр Ли из
множества
Lie
n
,
m

с нильиндексом
n
+
m
.

Теорема
3.

[
5
]
.

Пусть
G



супералгебра Ли, принадлежащая множеству
Lie
n
,
m

с нильиндексом
n
+
m
. Тогда
n
=2,
m

-

нечетно и существует базис
{
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
, ,
y
m
}
супералгебры
G

такой, что ее умножение в этом базисе имеет
следующий вид:

[
y
i
,

x
1
]

=

y
i
+1
,


1


i



m

1,

[
y
m
+1

i
,

y
i
]

=

(
-
1)
i
+1
x
2
,

1


i



,

(
отсутствующие произведения равны нулю)
.

Для не Лиевых филиформных супералгебр

Лейбница существование
адаптированного б
азиса приводится

в следующей теореме, которая является
следствием результатов работ

[
6
]
,
[
7
].

Теорема
4
.

Пусть
L



произвольная супералгебра Лейбница,
принадлежащая множеству
F
n
,
m
. Тогда существует базис {
x
1
,
x
2
, ,
x
n
,
y
1
,
y
2
,
,
y
m
} супералгебры
L
, удовлетворяющий одному из следующих трёх
условий:

a
) [
x
1
,

x
1
]=
x
3
,

[
x
i
,

x
1
]=
x
i
+1
,




2


i



n

1,

[
x
1
,
x
2
]=

4
x
4
+

5
x
5
  

n
-
1
x
n

1
+

x
n
,

[
x
j
,
x
2
]=

4
x
j
+2
+

5
x
j
+3
 
+

n
+2

j
x
n
,


2


j



n

2,

[
y
j
,

х]
y
j
+1
,

1



j



m

1 и некоторого х

L
0
\
,

б
)

[
x
1
,

x
1
]=
x
3
,

[
x
i
,
x
1
]=
x
i
+1
,




3


i



n

1,

[
x
1
,
x
2
]=

4
x
4
+

5
x
5
  

n
x
n
,

[
x
2
,
x
2
]=

x
n
,

[
x
j
,
x
2
]=

4
x
j
+2
+

5
x
j
+3
  

n
+2

j
x
n
,


3


i



n

2,

[
y
j
,

х]
y
j
+1
,

1



j



m

1 и некоторого х

L
0
\
,

в
) [
x
i
,
x
1
]=
x
i
+1
,





2


i



n

1,

[
x
1
,
x
i
]=
-
x
i
+1
,





3


i



n

1,

[
x
1
,
x
1
]=
θ
1
x
n
,

[
x
1
,
x
2
]=
-
x
3

+
θ
2
x
n
,

[
x
2
,
x
2
]=
θ
3
x
n
,

[
x
2
,
x
j
]=
-
[
x
j
,
x
2
]

{
x
j
+2
,
x
j
+3
, ,
x
n
},


3


j



n

2,

[
x
i
,
x
j
]=
-
[
x
j
,
x
i
]

{x
i+j
, x
i+j+1
, , x
n
},


3


i


, i


j


n

i,


[
y
j
,

х]

=

y
j
+1
, 1



j



m

1 и некоторого х

L
0
\
.

где отсутствующие произведения в
L
0

равны нулю, и в классе в)
.


Классификация нуль
-
филиформных супералгебр

Лейбница с нильиндексом nm

Надо отметить, что
супералгебры
Лейбница из т
еорем
ы

1. являются
нуль
-
филиформными супералгебрами Лейбница, которые имеют нильиндекс
,

равный nm1. Боле
е

того, алгебра
ii
) является единственной
однопорожденной супералгеброй Лейбница. Таким образом, супералгебры,
имеющие нильи
ндекс
n
+
m
,

имеют не меньше двух порождающих.
Следует
отметить, что
если число порождающих элементов больше двух, то
супералгебра Лейбница имеет нильиндекс меньше
числа
n
+
m
.
Следовательно, мы имеем двухпорожденн
ый случай
.

Пусть
L

ZF
n
,
m

с нильиндексом
,

равным
n
+
m
.
Тогда
из
т
еоремы 
следует, что один порождающий лежит в
L
0

а второй


в
L
1
. Не ограничивая
общности

(
из
свойств
адаптированного базиса
),

в качестве порождающих
мож
но
взять x
1

и y
1
.

Если размерности четной или нечетной части супералгебры
L

р
авны
единице, то
в этом тривиальном случае мы
получим
супер
алгебр
ы
:

Leib
1,
m
: [
y
j
,
x
1
] =
y
j
+1
, 1


j



m

1,

Leib
n
,1
:

Далее предполагаем, что
n



2,
m



2
.

Введем обозначения




Для остальных умножений элементов
L
1

верн
а

следующ
ая

Лемма
1.


(
1)

где 1


i
,
j



m
.

Доказательство
.

Доказательство проводится
методом
индукци
и

по
j

при любом

значении
i
.

Теорема 5
.

Пусть
L

ZF
2,
m

(
m

) с
нильиндексом
,

равным
m
, тогда
m

нечетно и существует базис {
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
, ,
y
m
} в супералгебре
L

такой,
что ее умножение в этом базисе имеет следующий вид:


Доказательство.

Из равенства (
1) нетрудно получить, что


(
2)

Заметим
,
что


m
,2

0.
Действительно
,
если


m
,2
=0,
то


L
m

1
={
x
2
,
y
m

1
,
y
m
},
L
m
={
x
2
,
y
m
}
и

L
m
+1
={
y
m
}
,

откуда

следу
е
т, что [
y
m

1
,
y
1
]=
ax
2

и [
x
2
,
y
1
]=
by
m
, где
ab

0.

Из следующей цепочки

равенств



следу
е
т
ab
=0,
т.е.
получи
ли
противоречие

с условием
ab

0. Следовательно,

m
,2

0.

Несложная проверка показывает, что
при

m
,2

0
имеем
x
2

Z
(
L
).

Используя супертождество Лейбница
,

получим следующ
е
е
соотношение

[x
1
,

y
i
]

=


1,2
y
i+1
  

1,m
-
i+1
y
m
, 1



i


m

1.

Так как выражение [
y
1
,

x
1
]

+

[
x
1
,

y
1
] лежит в
R
(
L
), то

(1

+


1,2
)
y
2

+


1,3
y
3

  

1,
m
y
m



R
(
L
)

(
3)

Если либо

1,2


1
,

либо

1,
i

0 для некоторого
i

(3


i



m
), то
,

умножая
линейную комбинацию (
) справа на элемент
x
1
достаточно
е число
раз, мы
получим, что
y
m

R
(
L
). Однако в силу равенства (
) имеем

[
y
1
,
y
m
]=(

1)
m

1


m
,2
x
2
, из чего следует

m
,2
0, а это противоречит условию

m
,2

0.

Если же

1,2
=

1 и

1,
i
0 для всех
i

(3


i



m
), то
,

используя
супертождество

Лейбница для базисных элементов {
x
1
,

y
i
,

y
i
}
,

получим


2
i
,2

=

0 для всех

Из условия

m
,2

0 имеем, что
m



нечетно, иначе
.

Для удобства записи введем обозначения:

s
=

2
s
-
1,2
, 1


s



.

В
терминах данных обозначений имеем
семейство
L
(

1
,

2
,

,
)
, заданное
умножением:



Возьмем
общую замену порождающих базисных элементов:


Тогда




и

.

Выбирая параметры
a
i

следующим образом:



,

для нечетного
,


,


для четного
,

где
5



i



m
, получим, что
[
y
'
m
,
y
'
1
] =
x
2
,

[
y
'
i
,
y
'
1
] = 0

для 1



i



m



1.

Используя

супертождество

Лейбница,

получим

равенства


котор
ые

заверша
ю
т доказательство теоремы.



Теорема доказана.

Лемма
2.

Произвольная двухпорожденная супералгебра Лейбница
,

принадлежащая классу
ZF
n
,
m

(
n



3,
m



2)
,

имеет нильиндекс меньше

числа
n
+
m
.







ЛИТЕРАТУРА


1.

Burde D. Degenerations of 7
-
dimensional nilpotent Lie algebras.
//

Comm. in
Algebra.


2005.
-

Vol.
33
.
-



4.


P.

1259

1277.

2.

Albeverio S., Ayupov. Sh.A., Omirov B.A. Cartan subalgebras, weight spaces
and criterion of solvability of finite dimensional Leibniz algebras. // Revista
Matematica Complutence.


2006.
-

Vol. 19.
-

№ 1.


P. 183
-
195.

3.

Bordemnn M., Góm
ez J.R., Khakimdjanov Yu., Navarro R.M.
Some
deformations of nilpotent Lie superalgebras. // J. Geom. and Phys.


2007.


1.
Vol. 57


P.

1391
-
1403.

4.

Ayupov

Sh
.
A
.,
Omirov

B
.
A
.,
Khudoyberdiyev

A
.
Kh
.
The classification of
filiform Leibniz superalgebras of ni
lindex n+m.

//

Acta Mathematica Sinica
(English Series).


2009.
-

Vol. 25.
-



2.


P. 171
-
190.

5.

Berezin F.A., Lietes D.A. Supervarieties. // Sov. Math. Dokl.


1975.


Vol. 16.
-

P.

1218
-
1222.

6.

Cmcho L., Gómez J.R.,
Khudoyberdiyev A.Kh.,
Omirov

B.A. On the
description of Leibniz superalgebras of nilindex n+m. // Forum Mathematicum.


2012.
-

Vol. 24.
-



4.


P. 809
-
826.

7.


Cmcho L.M., Gómez J.R.,
Omirov B.A., Khudoyberdiyev A.Kh. Complex
nilpotent Leibniz superalgebras with nilindex equal to di
mension. // Comm. in
Algebra.


2013.
-

Vol. 41.
-



7.


P.

2720
-
2735.



Приложенные файлы

  • pdf 41828199
    Размер файла: 241 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий