Г. П. Размыслович, В. М. Ширяев (Минск: БГУ, 2004), «Сборник задач по линейной алгебре» И. В. Проскуряков (Москва: Наука, 1984) и другие. Матричный анализ: Общая теория матриц. Гомель 2015.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Н. М. КУРНОСЕНКО,
И. В. ПАРУКЕВИЧ, В. В. ПОДГОРНАЯ
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ:
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ
Практическое руководство
для студентов математического факультета
специальностей 1
31 03 03
Прикладная математика
и 1
31 03 06
Экономическая кибернетика
Гомель
ГГУ им. Ф. Скорины
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;2 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;УДК
512.643(076)
ББК
22.143я73

К934
Рецензенты:

кандидат физико
тематических наук А. Д. Суворова;
доктор физико
математических наук В. М. Селькин
Рекомендовано
к изданию научно
методическим советом
учреждения
образования Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»

К934
Курносенко
, Н. М.

Матричный анализ : общая теория матриц: практ
ческое
рук
оводство
/ Н. М. Курносенко, И. В. Парукевич,

В. В. Подгорная
во образования
РБ, Гом.
гос. ун
им. Ф. Скорины.
Гомель : ГГУ им.
Ф. Скорины, 201
5.
с.
ISBN
978
985
439
859
Практическое руководство включает в себя краткие теоретические
сведения, образцы решений типовых примеров, задания для проведения
практич
ских и лабораторных занятий по следующим разделам матричного
анализа: канонически
е формы матриц, матричные многочлены, псевдообратная
матрица.
Руководство
подготовлено в соответствии с программой курса
Матричный анализ» для студентов специальностей 1
31 03 03 Прикладная
математика» и 1
31 03 06 Экономическая кибернетика».
Оно м
жет
быть использовано как преподавателями, так и ст
дентами
физико
математических и технических специальностей при изучении данной
дисциплины, а также для организации самосто
тельной работы.
УДК
512.643(076)
ББК 22.143я73
ISBN
©
Курносенко Н. М., Парукевич
И. В.,
Подгорная В. В., 2015
УО Гомельский государственный
университет им. Ф. Скорины», 2015
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;3 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Содержание
Предисл
вие…………………………………………………………….
1 Линейные преобразования и жорданова нормальная фо
ма……….
2 Каноническ
ие формы ма
риц…………………………………………
2.1 Многочленные матр
цы…………………………………………….
2.2 Матричные многочл
ны…………………………………………….
2.3 Жорданова и фробениусова нормальные формы…………………
3 Псевдообратная матрица……………………………………………..
4 Задания к лаборат
орным раб
там…………………………………….
Литература
……………………………….…………………………………
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;4 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Предислов
Практическое руководство составлено на основе курса лекций по
матричному анализу, который читается для студентов специальностей
Прикладная математика» и Экономическая кибернетика» математич
ского факультета. Весь материал разбит на несколько разделов, с
гласно
учебной программе по дисциплине Матричный анализ». Ка
дый
раздел
содержит справочный материал по теме, задания для аудит
орной и д
машней работы, а также примеры решений типовых задач. В конце
предлагаются задания к лабораторным работам. Практическое руково
д-
ство может быть использовано преподавателем для проведения практич
ских
и лабораторных занятий, а студентами для выпо
лнения дома
них

и лабораторных заданий, что позволит успешно подготовиться к э
замену
по матри
ному анализу.
При подборе задач авторами использован
а следующая литература:
Задачи по матричному анализу» А. К. Деменчук, Г.
П. Размыслович,


. М. Ширяев (Минск: БГУ, 2004), Сборник задач по линейной алге
ре»
В. Проскуряков (Москва: Наука, 1984) и другие. Поэтому многие
задачи
пособ
ия не претендуют на
оригинальность, хотя среди них есть
целый ряд
новых.
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;5 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;1 Линейные пр
еобразования и жорданова
нормальная форма
Основные понятия
Действительным
(или вещественным
линейным
или
векторным
пространством
над полем действительных
чисел
называется
упорядоченная четвёрка
,,,
, где
непустое множество,

элементы которого называются векторами, 
есть бинарная
алгебраическая
операция сложения векторов,
есть операция у
жения вектора на действительное число
. При этом заданные операции
удовлетворяют следующим аксиомам линейного (векторного) пр
странства:
xyyxxyV
+=+∀∈
коммутативность сложения
()(),,
xyzxyzxyV
++=++∀∈
ассоц
иативность сложения
:,
VxxxV
∃θ∈+θ=∀∈
нейтральный элемент
:()
xVxVxx
∀∈∃-∈+-=θ
противоположный элемент
()(),,
xxxV
αβ=αβ∀α,β∈∀∈
ассоциативность умножения

на скаляр


xxxV
⋅=∀∈

7)


(),,
xxxxV
α+β=α+β∀∈∀α,β∈
дистрибутивность умнож
ния на вектор относительно сложения скаляров
(),,,
xyxyxyV
α+=α+α∀∈∀α∈
дистрибутивность умн
жения на скаляр относительно сложения векторов
Если
обозначает операцию умножения вектора на комплексное
число, то ве
кторное пространство называется
комплексным.
Конечная сумма вида
1122
xxx
α+α++α
называется
линейной
комбинацией
векторов
,,...,
xxxV
с действительными (комплек
ными)
коэффициентами. Линейная комбинация называется
нетрив
альной
если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Векторы
,,...,
xxxV
называются
линейно зависимыми
, если

существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому
вектору
. В противном случае эт
и векторы называются
линейно

независимыми
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;y.6; 4;.80; 31; .6 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;6 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Будем говорить, что на множестве векторов
задано
преобразов
ние
, если каждому вектору
по некот
орому правилу поставлен

в соответствие вектор
Fx
Преобразование
называется
лине
ным
, если выполняются
равенства:
()()(),()(),,,.
FxyFxFyFxFxxyV
+=+λ=λ∀∈∀λ∈
Для наглядности р
ассмотрим трехмерное пространство с
базисом
123
eee
в котором задано линейное преобразование
. Применив
ное
преобразование
к базисным векторам, мы получим векторы
123
(),(),()
FeFeFe
опять
принадлежащие этому
трехмерному простра
ству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом ра
ложить по векторам базиса:
1111212313
2121222323
3131232333
()
Feaeaeae
Feaeaeae
Feaeaeae
=++
=++
=++
Тогда м
атрица
, составленная из коэффициентов этих разложений
111213
212223
313233
aaa
Aaaa
aaa
называется
матрицей лин
ейного преобразования
в базисе
123
eee
Для произвольного вектора
112233
xxexexe
=++
результатом примен
ния к нему линейного преобразования
будет вектор
Fx
который
можно разложить по векторам того же базиса:
112233
Fxxexexe
′′′
=++
где координаты
можно найти по формулам:
112233
iiii
xaxaxax
=++
для
1,2,3.
Коэффициенты в формулах этого линейного преоб
раз
вания являются элементами строк матрицы
Ненулевой вектор
называется
собственным вектором
матрицы
если
Axx
∃λ∈=λ
. Само число
азывается
собственным чи
лом
матрицы
. Совокупность всех собственных чисел линейного преобраз
вания
конечномерного линейного пространства называется
спе
тром
преобразования
. Е
сли линейное преобразование
мерного комплек
ного (действительн
ого
) пространства имеет
попарно различных ко
м-
плексных (действительных) корней, то его спектр называется пр
стым.
равнение для определения собственных чисел
, назыв
аемое

характеристическим уравнением
, имеет вид
-λ=
Многочлен
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;7 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;относительно
переменной
вида

называется
характеристич
ским многочленом
матрицы
Для нахождения собственного вектора
, соответствующего со
ственному значению
, надо решить матричное уравнение
()0
AEx
-λ=
Свойства собственных чисел и собственных векторов:
1) е
сли выб
рать базис из собственных векторов
123
,,
xxx
, соотве
ствующих собственным значениям
123
λλλ
матрицы
, то в этом

базисе линейное преобразование
имеет матрицу
диагонального вида
00;

сли собственные значения преобразования
различны, то соо
ветствующие им собстве
нные векторы линейно независимы;
сли характеристический многочлен матрицы
имеет
простой
спектр, то в соответствующем базисе из собственных векторов матрица
имеет диагональный вид.
Переформулируем
последнее свойство
для линейного преобразов
ния:
матрица
линейного преобразования
приводится к диагональн
му виду тогда и только тогда, когда в пространстве
существует базис
из со
ственных векторов.
Квадратные матрицы
го порядка
называются
одобными
если существует такая невырожденная матрица
, что
BSAS
образование матрицы
по формуле
SAS
называется
преобразован
ем подобия
, а матрица
преобразующей
Чтобы привести квадра
ную матрицу
го порядка к диагональному виду при помощи прео
разования подобия
SAS
и найти преобразующую матрицу
, нуж
но
выпо
нить следующие действия:
айти
линейно независимых собственных векторов
,,...,
sss
матрицы
з собственных векторов
,,...,
sss
составить преобразующую
матрицу
Ssss
) п
о собственным значениям матрицы
составить
диагональную
матрицу
Adiag
=λλλ
Иначе матрицу
можно найти, выполняя преобразование подобия.
Жордановой матрице
й называется квадратная
очно
диагональная
матрица
над
полем
, с блоками вида

10...00
01...00
00...00
..................
000...1
000...0
λ
при этом каждый блок
называется
жордановой клеткой
собстве
ным
начением
(собственные значения в
различных блоках
могут
совпадать).
Согласно теореме о жордановой нормальной форме для произвол
ной квадратной матрицы
над
алгебраически замкнутым полем
(например, полем комплексных чисел
) сущес
твует квадратная нев
рожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) ма
рица
над
, такая, что
JCAC
является жордановой матрицей. При
этом
называется
жордановой формой
(или
жордановой нормал
ной
формой
) матрицы
. В этом случае также говорят, что жорданова матр
ца
в поле
подобна
(или
сопряжена
) данной матрице
. И, наоборот
в силу эквивалентного соотношения
ACJC
матрица
подобна в п
матрице
. Жорданова форма матрицы определена не одн
знач
но,
а с точностью до порядка жордановых кл
ток.
Решение типовых заданий
Найти линейное преобразование,
переводящее точки
0;1,
1;0
, соответственно в точки
2;1,
1;4
Решение.
Задача сводится к определению элементов матрицы линейного пр
образования:
1111122
2211222
faeae
faeae
=+
=+
Подставляя координаты соответств
ующих
точ
0;1
2;1

в эти уравнения, получим:
1112
2122
201
101.
=⋅+⋅
-=⋅+⋅
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;“.8; 4;.80; 33;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;9 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Подста
новка
координат соответств
ующих
точ
1;0
1;4
приведёт к уравнениям:
1112
2122
110
410.
=⋅+⋅
=⋅+⋅
Итак, для определения неизвестных
элемен
тов имеем систему:
1112
2122
1112
2122
012
011
101
104.
⋅+⋅=
⋅+⋅=-
⋅+⋅=
⋅+⋅=
Решая эту систему, получим:
11122122
1,2,4,1.
aaaa
====-
Следовател
но,
матрица линейного преобразования имеет вид



Найти спектр
линейного преобразования
, если
032
301.
221
Решение
Составим характеристическое уравнение матрицы

310
221
-λ=-λ=
--λ
или
990.
λ-λ-λ+=
Разложив на множители левую часть этого уравнения, получим:
1330.
λ-λ-λ+=
Отсюда следует, что
123
1,3,3
λ=λ=λ=-
являются собственными
значениями матрицы
И поскольку они различны, то линейное прео
разование имеет простой спектр
()1;3;3.
SpA
=-
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;10 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;3 Являются ли подобными
следующие матрицы:
5240
2809



Решение.
Найдём собственные значения матриц
и

52
0,13360,

-λ=
=λ-λ+=

откуда
4,9.
λ=λ=
Аналоги
чно для
B
0,(4)(9)0,
BE

-λ=
=-µ-µ=

откуд
4,9.
µ=µ=
Поскольку
собственные значения матриц
совпали, то эти ма
рицы подобны.
Выяснить, приводится ли
матрица
к диагональному виду. В сл
чае утверд
ительного ответа найти матрицу, приводящую
к диаг
нальному виду.
102
020.
033
Решение.
Найдём характеристические числа матрицы
. Для этого составим
характеристическое уравнение:
102
0200
033

-λ=-λ=

или
(1)(2)(3)0.
-λ-λ-λ=
Отсюда следует, что
123
1,2,3
λ=λ=λ=
есть действительные и ра
личные собственные значения матрицы
Следовательно, она прив
дится к диагональному виду.
Найдём собственные в
ектора, соотве
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;11 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;ствующие найденным собственным значениям.
Для собственного значения
λ=
имеем:
2
002
0100.
x




=⇒=






Получим систему линейных уравнений:
1233
1232
123
002020
01000.
320
0320
xxxx
xxxx
xx
xxx
⋅+⋅+⋅==
⋅+⋅+⋅=⇒=
⋅+⋅+⋅=
Отсюда следует, что
любое действительное число,
==
Следовательно
111
00,.
exx


==∀∈



Для собственного значения
имеем:
102
0000.
031
=⇒=
Получим систему линейных уравнений:
123
123
123
020
0000.
030
yyy
yyy
yyy
-+⋅+=
-+=
⋅+⋅+⋅=⇒
⋅++=
тсюда следует, что
yy
=-
132
26.
yyy
==-
Следовательно
2222
1,y.
eyy


==∀∈



Для собственного значения
имеем:

11
33
202
0100.
030




=⇒-=






Получим систему линейных уравнений:
123
123
123
2020
220
000
0300
zzz
zzz
zzz
-+⋅+=
-+=
⋅-+⋅=⇒
⋅+⋅+⋅=
Отсюда следует, что
z
Следовательно
333
00,z.
==∀∈
Таким образом, матрица
имеет вид:
123
00,
xyz
Cy
где
123
,,.
xyz
иагональный вид матрицы

100
020.
003
CAC





Найти жорданову нормальную форму матрицы
313
729.
214


=--



Решение.
Преобразуем характеристическую матрицу

к виду:
101100
7297216
214216
-λ-λ-λ


-λ=---λ→---λ→


---λ
--λ


100
13216().
016

→--λ+λ=

Составим характеристическое уравнение:
216
()(1)
(1)(2)0,
λ=-λ
=λ-λ-=

откуда
123
1,2.
λ=λ=λ=
Поскольку
123
λλλ∈
то матрица может быть приведена к жорд
новой нормальной форме.
Так как имеется м
инор второго порядка
216
то
()1.
Аналогично
()1.
Поэтому
()(1)(2),()1,()1.
λ==λ-λ-λ==λ=
Инвариантные множители характеристической матрицы равны
1,1,1,(2).
λ-λ-
Следовательно, э
лементарные делители равны:
(1),(2).
λ-λ-
Сопоставляя каждому элементарному делителю жордан
ву клетку такого порядка, какова кратность соответствующего со
ственного значения, получим жорданову матрицу:
100
021.
002
Задания для
аудиторной работы
остранство
образовано многочленами от
степени не выше
n
Показать, что многочлены
1,1,1,...,1
λ-λ-λ-
образуют базис пр
странства
. Найти в этом базисе координаты многочленов
23,.
-λ-λλ
Какую матрицу имеет нулевое и единичное преобразование пр
странства
Как изменится матрица линейного преобразования
если в коо
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;14 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;динатной системе
,...,
переставить какие
нибудь два вектора?
Пусть
пространство всех координатных матриц второго поря
ка. Показать, что преобразование
, состоящее в ум
ножении всех ма
риц из пространства
справа на матрицу
,
31
будет линейным. Найти матрицу преобразования, если
1234
10010000
,,,.
00001001
eeee

====


Составить характеристическое уравнение для матрицы
A

14



б)
132
230.
201
Найти спектр линейного преобразования
, если
а)
12
30



457
149.
105
=-
Является ли он простым?
Являются ли по
добными матрицы
113
151
311

131
311?
115


=-



Найти жорданову нормальную форму
матриц
1113
1131
1311
3111
--
----
а)
в поле рациональных чисел;
б)
в поле действительных чисел;
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;15 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;в)
в поле комплексных чисел.
Исп
ользуя
жорданову нормальную форму матриц
ы, у
знать какие
из
следующих
матриц являются подобными
и какие из них подобны
диагональной матрице?
3134213025211
426;8245;7422;
11523734215
ABC


=--=---=-


----

81216208932200
81822;115120;111.
112227209536113
DFM


=--=-=


-----

Задания для домашней работы
Показать,
что матрицы
AA
имеют одно и то
же множество
ненулевых собственных значений, если
1111
1111.
1111
=--
---
Найти спектр линейного преобразования
, если
а)
563
101;
121
=-

1000
0000
0000
1001
Является ли он простым?
Являются ли подобными матрицы
212720
151
и262?
212025


=-=--



Показать, что
матрица
подобна своей обратной, если

243
121.
011
--


=--



Для трёх матриц
ABC
показать, что существует общий собстве
ный
вектор, если
05101051515
013,111,122.
125013138
ABC
--
---


=-==-



Доказать, что
собственными значениями диагональной матрицы
являются её диагональные элементы.
Найти жорданову нормальную форму
матриц
1114
1141
1411
4111






а) в поле рациональных чисел;
б) в поле действительных чисел;
в) в поле комплексных чисел
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;17 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;2 Канонические формы матриц
Основные понятия
2.1
Многочленные матрицы
Многочленом от матрицы
называется выражение вида
110
()
...,
fAaAaAaAaE
=++++
где
квадратная матрица
порядка.
Лямбда
матрица
матрица,
матрица многочленов
квадратная
матрица
, элементами которой являются
многочлены
над некоторым
чис
ловым
полем
. Если имеется некоторый элемент матрицы, который
является многочленом степени
и нет элементов матрицы степени
большей чем

степень
матриц
Используя обычные
операции над матрицами
любую
матриц
можно представить в виде:
110
()
....
AAAAA
λ=λ+λ++λ+
Если
определитель
матрицы
отличен от нуля,
то
матрица
наз
вается
регулярной
Многочленная прямоугольная матрица назыв
ется
канонической диагональной
если она имеет вид
()0...00...0
0()...00...0
00...00...0
00...()0...0
00...00...0
.....................
00...00...0
где многочлены
(),(),...,()(,)
aaasmn
λλλ<
не равны тождественно
нулю и каждый из них делится без остатка на предыдущий. При этом
предполагается, что старшие коэффициенты всех этих многочленов равны
единице. Произвольная прямоугольная многочленная
A
матрица экв
валентна
некоторой канонической диагональной.
Всякая
матрица

конечным числом элементарных преобразований может быть приведена
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;18 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;к канонической диагональной форме
и такая форма единственна.
Чтобы получить элементарные
делители
матриц
ы, имеющей кан
ническую диагональную форму, достаточно взять, согласно определ
нию, все элементарные делители ее диагональных элементов. Это же
правило имеет место и для произвольной диагональной
матриц
. С
стема элементарных делителей произвольной диагональной
матриц
есть объединение элементарных делителей ее диагональных элеме
тов.
Для того чтобы многочленные матрицы порядка
были эк
вив
лентны,
необходимо и достаточно, чтобы наибольшие общие
делители их мин
ров
го порядка совпадали
при
1,2,...,
Или,
для эквив
лентности
матриц
необходимо и достаточно, чтобы их соо
тветствующие инв
риантные
множители были равны.
Многочлен
p
переменной
называется
аннулирующим
для
квадратной матрицы
, если при подстановке в многочлен матрицы
вместо переменной
получаем нулевую матрицу, т.
()0
Напомним, что для любой квадратной матрицы
многочлен
()det()
AAE
∆=-λ
назыв
ется характеристическим.
гласно т
еореме
Гамильтона
Кэли: характеристический многочлен матрицы является
аннулирующим для нее, т.
е.
()0.
∆=
Решение типовых заданий
Найти каноническую диагональную форму
матриц
210
()021.
002
λ--
λ=λ--
Решение.
Первый способ
. Последовательно применяя элементарные преобр
зования, приведём данную матрицу к каноническому виду:
120(2)20
()201(2)01
002002
-λ-
-λ-λ-


λλ--→λ-
-→




100100
2(2)10(2)1
002002


→λ-λ--→λ--→



100100
01(2)0(2)(2)
0200(2)0


→-λ-→-λ-λ-→



100100
010010.
02(2)00(2)


→-→


λ-λ-

Инвариантные
множители
123
()()1,()(2)
eee
λ=λ=λ=λ-
полученной
матрицы удовлетворяют условиям:
любой инвариантный множитель
нацело делится на
();
старший коэффициент любого инвариантного множителя равен
Второй способ
. Пользуясь наибольшими общими делителями мин
найдём каноническую диагональную форму
матриц
Сначала найдём
():
()1;0;21;
dНОД
λ=λ-=
21102020
()
;;
02210201
dНОД
λ---λ-λ-
λ-λ--λ--
()()(2).
λ=λ=λ-
В силу того, что
12
()()()...(),
deee
λ=λλλ
где
1,...,,
искомые инв
риантные мн
жители равны:
112
12
()()1,()1,()
(2).
()()
edee
λ=λ=λ==λ==λ-
Поэтому
100
()010.
00(2)





Найти каноническую диагональную форму
матриц

222

-λλλ

λ=λλ-λ


+λλ-λ

Решение.
Для нахождения
каноническ
диагональн
форм
матриц

метод элементарных преобразований часто бывает громоздким, а м
е-
тод миноров удобен только для матриц с большим
количеством нул
е-
вых элементов. В силу того, что всем
матриц
ам, эквивалентным
матриц
A
, соответствует один и тот же набор мн
гочленов
(),(),...,()
ddd
λλλ
, то комбинируя оба метода нахождения
канон
диагональн
форм
матриц
, получим более эффективный
способ приведения матрицы к каноническому виду:
()000
110

λλλ+λλ

λ→λ-λ→
-λ→


λ-λ

1010
0000.
10100

λ+λ
λ+λ

-λ→



Тогда
()0;1;;11();
dНОД
λ=-λλ+==λ
()0;;;
();
010
dНОД
λ+λλ+λ
λ=
=λ=λ
()
(1),()
(1).
стар.коэф.
()
λ==λλ+λ==λλ+
Поэтому
100
()00.
00(1)
λ→λ
λλ+
Являются ли
эквивалентными между собой следующие

матрицы

(),()
22210
AB
λλ+λ+
Решение.
Первый способ
. Поскольку с помощью конечно
го числа элемента
ных преобразований имеем:
22
(),
505
BA

λλλλ
→→=λ

λλ+λ+λ+

то матрицы эквивалентны.
Второй способ
. Поскольку две эквивалентные матрицы имеют од
наковые инвариантные множители, а значит, приводятся к одному

каноническому виду, то для матрицы
имеем:
()0;;51();
dНОД
λ=λλ+==λ
(5)().
λ==λλ+=λ
ноническ
ий вид матрицы
A
0(5)
λλ+
алогично для матрицы
имеем:
22
()3;2;3;22101();
dНОД
λ=λλλλ+λ+==λ
22
6(5)
(5)().
стар.коэф.
стар.коэф.
de
λλ+
λ=
==λλ+=λ
ноническ
ий вид матрицы
B
0(5)
λλ+
Таким образом, матрицы эквивалентны.
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;22 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Задания для аудиторной работы
Привести элементарными преобразования
ми к канонической ди
гональной форме матрицы:
а)
;
0
б)
;
05
в)
121

λ-λ+

λ+λ+λ+

г)
22
31312;
λ+λ+λ
λ-λ-λ+λ
λ-λ-λ

-λλλ
λλ-λ
λ+λ-λ
Пользуясь наибольшими общими делителями мин
оров, найти

каноническ
диагональн
фор
матриц
а)
(1)00
0(2)0;
00(1)(2)
λλ-
λλ-
λ-λ-
б)
100
010
001
λ
в)
21216221217
030;
67268

λ-λ+-λλ-λ+




λ-λ+-λλ-λ+

г)
100
010
001
5432



λ


Являются ли эквивалентными матрицы:
3141
λ+λλ-


=-λλ-λ-λ


λ+λ-λλ+λ

и
122
2232?
211
λ+λ-λ-λ
=λλ-λ-λ
Задания для домашней работы
Привести элементарными преобразованиями к канонической ди
гональной форме матрицы:
а)
3
;
01
б)
2232
222
343;
λλ-λλ
λ-λλ-λλ+λ-λ
λ+λλ+λλ+λ

 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;23 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;в)
1230
01240
01340
0002
λ-λ-λ-


λ-λ-λ-


λ-λ-λ-

λ-λ-λ-

г)
λ-λλ
λ+λλ
Пользуясь наибольшими общими делителями миноров, найти

каноническ
диагональн
фор
матриц
а)
(1)00
00;
00(1)
λλ+





б)
(1)00
0(2)0;
00(3)
λλ-


λλ-


λλ-

в)
100
000
001
λ
г)
1000
0100
0010
0001
12345
λ-
д)
11...1
01...1
...............
000...1
000...








Являются ли эквивалентными матрицы:
222
222
222
2222
132
λ+λ+λ-λλ+λλ
λ+λλ-λλ+λλ
λ-λλ-λλ+λλ
λ-λλλ
и
222
222
222
2222
313
213

λ+λλ

λ+λλ


λλλ

λ-λλλ

.2
Матричные многочлены
Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать,
вычитать и умножать аналоги
чно многочленам с числовыми коэффиц
ентами. При этом надо учитывать. Что умножение матричных мног
членов некоммутативно, так как не коммутативно умножение матриц.
Два матричных многочлена называются равными, если равны их
коэ
фициенты при одинаковых степен
ях переменной. Операции над матри
ными многочленами можно также осуществлять с помощью операции
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;24 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;над соотве
ствующими матрицами над кольцом многочленов.
Так как умножение матриц некоммутативно, для матричных мног
членов определяется два деления с остатком
правое и левое.
Говорят,
что матричные многочлены
Q
R
являются соответственно

правым частным и правым остатком
при делении
A
на
B



если
()()()()
AQBR
λ=λλ+λ
степень
R
меньше
степени
B
Матричные многочлены
Q
R
являются соответственно
левым
частным и левым остатком
при делении
A
на
B
, если
()()()()
AQBR
λ=λλ+λ
и степень
R
меньше степени
B
Как правое, так и левое деление матричных многочленов одного

и того же порядка, всегда выполнимо
и однозначно, если делитель
регулярный многочлен.
Пусть даны два матричных многочлена
A
B
одного и того же
порядка, причём
B
регулярный многочлен. А име
нно:
()...,()...(0,0).
mp
AAABBBAB
λ=λ++λ=λ++≠≠
Рассмотрим алгоритм правого деления многочленов (левое деление
проводится
аналогично). Если
, то можно положить
()0,()()
QRA
λ=λ=λ
. Если
, то для нахождения
Q
R
меним обычную схему деления многочлена на многочлен. Разд
лим»
старший член делимого
m
на старший член делителя
p
. П
лучим
старший член искомого частно
го
00
--
. Умножим этот член справа
на делитель
B
и полученное произведение вычтем из
A
. Получим
вый остаток
(1)
(1)
00
()()
AABBA
--
λ=λλ+λ
Степень
(1)
многочлена
(1)
меньше
. Если
(1)
()0
, то пол
гаем
00
(),()0
QABR
--
λ=λλ=
. Если
степень
(1)
, то повторяем ук
занный процесс дальше. Так как степе
ни многочленов
(1)(2)
(),(),...
AA
убывают, то на некотором шаге придём к остатку
R
, степень котор
го меньше
. Следовательно,
(1)
(1)1
00
00
()...()
mp
AABBABBR
--
--
λ=λλ+λλ++λ
то есть
()()()()
AQBR
λ=λλ+λ





(1)
(1)1
00
Q()
()...
mp
ABBABB
λλλλλ
--
=++
Такое деление является однозначным.
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;25 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ; &#x/MCI; 1 ;&#x/MCI; 1 ; &#x/MCI; 2 ;&#x/MCI; 2 ;Решение типовых заданий
Представить
A
в виде матричного многочлена. Является ли он
регулярным?
322
451
λ-λ+λ-
λλ+
Решение.
0051
002
000

λ-λλ

λ=+++=




10410051
10000102

=+λ+λ+


олучили матричный многочлен, где
0123
10410051
,,,.
10000102
AAAA

==


олученный матричный многочлен не является регулярным, так как
==
Доказать подобие матриц
, используя основную теорему

о подобии матриц. Найти такую невырожденную матрицу
, что
BRAR
122
--



Решение.
Согласно основной теореме о подобии матриц, матрица
подобна
тогда и только тогда, когда
AEBE
-λ-λ
оскольку
-λ-
-λ=



()1;;1;1();
dНОДiie
λ=--λ-λ==λ
(1)2().
iie
-λ-
λ=
=λ-+λ+=λ

Следовательно, канонический вид матрицы

есть
0(i1)2


λ-+λ+

Для матрицы
имеем:
BE
--λ
-λ=
--λ
()2;1;1;21();
dНОДi
λ=---λ-λ==λ
(1)2().
iie
--λ
λ=
=λ-+λ+=λ
--λ
Следовательно,
BE

имеет такой же канонически
й вид, что и ма
рица

Таким образом, матрицы
подобны. Для нахождения преобр
зующей матрицы
найдём какую
нибудь цепочку элементарных пр
образований,
переводящих



BE

111
111
iii
iii
-λ---λ-λ

=→→→

-λ-λ
--λ

111
222

--λ


-λ-λ--λ

Берём те из этих преобразований, которые относятся к столбцам

(к столбцам относятся первое и последнее преобразова
ния)
и строим
рицу
():
1)
1001
0110



 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;27 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;2)

1010
0111






011011
101110



4) делим справа
V
на
BE
. Остаток от этого деления и
будет
матрицей
Матрицу
разделить на матрицу
справа
и слева
7133
3224
224
321745
λ+λ+
λ+λ+λ+λ+


λ+λ+
λ+λ+λ+λ+

Решение.
Представим матрицы
в виде матричных многочленов:
1231247313
,()
3724152124

λ=λ+λ+λ=λ+


Разделим многочлен
A
на многочлен
B
справа. В данном сл
чае
00
1273
3721



Тогда
0
Находим
00
1213311
37271140
--



Поэтому
(1)
311
3117313
()()
1140
11402124


λ=λ⋅λ+λ=
λ+λ+




(1)
(1)
121935
().
3769127

+λ=λ+λ+λ


Тогда

(1)
123124121935
3724153769127

λ=λ+λ+-λ-λ=


163424
6712315



Так как степень
(1)
равна единице, то продолжаем процесс (ст
пень многочлена
(1)
равна степени многочлена
B
). Имеем:
(1)
(1)1
1634
16341352190
67123
6712327179660
----


----

Тогда
(1)
(2)
52190
()()
179660

λ+λ=



(2)
521907313
().
1796602124

λ++λ



(2)
1634241634328604
67123156712311412103
----

λ=
λ+-

----


330608
11422108



Таким образом,
(2)
330608
31152190
()()
,()
11422108
1140179660

λ=λ=
λ=λ+



()()()().
AQBR
λ=λλ+λ
В случае левого деления многочленов получим:
(1)
73131312
()()()
21242737
ABBAA

λ=λλ+λ=λ+⋅⋅λ+


(1)
(1)
7313819
().
21241945
AA

+λ=λ+⋅λ+λ


(1)
1231241249116
3724153760142

λ=λ+λ+-λ-λ=



4611524
5814215



Так как степень многочлена
(1)
равна степен
и многочлена
B
то продолжаем процесс. Имеем:
(1)
1(1)
46115
1346115128311
58142
2758142314764
BA
---


-----

(1)
1(1)(2)
(2)
7313128311
()()()
().
2124314764
ABBAA

λ=λ+λ=λ+



(2)
461152446115
581421558142

λ=
λ+-



81419818121977
100024349992429
----


----

(2)
8121977
1283118141981
()()
;()
9992434
31476410002434

λ=λ=
λ+

----


()()()().
ABQR
λ=λλ+λ
Задания для аудитор
ной работы
Представить
A
в виде матричного многочлена. Является ли он
регулярным?
322
251
233

λ+λ+λ-

-λ+λ-

Доказать подобие матриц
, используя основную теорему

о подобии матриц. Найти такую невырожденную матрицу
, что
BRAR
182420
8211
11
243215,1022.
20150
5108
--


=-=



 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;30 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;3 Матрицу
разделить на матрицу
справа
22
253326211
371139128,212.
282534213
-λ+λ+-λ+λ+-λ+


=-λ+λ+-λ+λ+-λ+=


-λ+λ+-λ+λ+-λ+

Задания для домашней работы
Представить
A
в виде матричного многочлена. Является ли он
регулярным?
()03.

λ-λλ

λ=λ



Доказать подобие матриц
, исп
ользуя основную теорему

о подобии матриц. Найти такую невырожденную матрицу
, что
BRAR
111103
121,001.
120112
AB


=---=-



Матрицу
разделить на матрицу
.

253326211
371139128,212.
282534213
-λ+λ+-λ+λ+-λ+


=-λ+λ+-λ+λ+-λ+=


-λ+λ+-λ+λ+-λ+

.3
Жорданова и фробениусова нормальные формы
Фробениусовой нормальной формой
линейного оператора
наз
вается каноническая форма его матрицы, являющаяся
блочно
диагональной матри
цей
, состоящей из фробениусовых клеток вида

00...0
10...0
01...0.
...............
00...1
Такая матрица называется
сопровождающей
для многочлена
....
xxaa
+++
Пусть
конечномерное векторное пространство над
полем
есть
линейный оператор на этом пространстве. Тогда существует базис
пространства
такой
, что матрица
в этом базисе
блочно
диагональна
я,
её блоки
сопровождающие матрицы
для
унитарных многочленов
таких что
i
делится на
. Многочлены
определ
однозначно.
Решение типовых заданий
Найти
матрицу перехода к
жорданов
ой нормальной форме, если
312310
01124,030.
049001


=-=


--

Решение.
Обозначим вектора жордановой нормальной формы
123
fff
, тогда
112
33.
Affx


==



Решая систему
123
123
123
020
08240,
04120
xxx
xxx
xxx
⋅+-=
⋅+-=
⋅+-=
получим значения для собственного вектора
1123
:,0
fxcxx
===
где
, то есть

0,.
fcc


=∀∈



Второй столбец жордановой матрицы показывает, что
212
33.
AfffAEff
=+⇒-=
Решая систему
123
123
123
021
08240,
0480
xxx
xxx
xxx
⋅+-=
⋅+-=
⋅+-=
получим значения для собственного вектора
2123
:,3,1
fxcxx
===

где
, то есть
3,.
=∀∈
Пусть
c
, тогда
3.
1
f
Третий столбец жордановой матрицы показывает, что
Aff
=-⋅
Решая систему
123
123
123
420
012240,
0480
xxx
xxx
xxx
+-=
⋅+-=
⋅+-=
получим з
начения для собственного вектора
3123
:0,2,
fxxcxc
===

где
, то есть
2,.
fcc
=∀∈
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;33 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Пусть
c
, тогда
2.
1
f
Таким образом, матрица перехода к жордановой но
рмальной форме
имеет вид:
032.
011





Найти
фробениусову нормальную форму матрицы
A
123
310.
421
=--
Решение.
Вычислим инвариантные множители матрицы
123
310,
421

-λ=--
---λ
где
12
()1().
λ==λ
Вычислим
(1)(1)186(1)
513().
-λ=-λ+λ++--λ=-λ-λ-λ+=λ
Теперь
112
()()1,()1,()
513.
fdf
λ=λ=λ==λ==λ+λ+λ-
Клетка Фробениуса, сопровождающая многочлен
f
, есть матр
0013
105,
011
которая является фробениусовой нормальной формой м
атрицы

 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;34 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ; &#x/MCI; 1 ;&#x/MCI; 1 ;Задания для аудиторной работы
Найти жорданову нормальную форму матрицы
, если даны инвар
антные множители её характеристической матрицы:
а)
1234
56
()()1,()()1,()()(1)(2);
eeeeee
λ=λ=λ=λ=λ-λ=λ=λ-λ+
б)
1234
()()()1,()1,
()(1),()(1)(5).
eeee
λ=λ=λ=λ=λ+
λ=λ+λ=λ+λ-
Найти жордан
ову нормальную форму
следующих
матриц
(порядок
последних двух матриц равен



010
440;
212
б)
4615
135;
124
в)
1100...00
0110...00
0011...00
.....................
0000...11
0000...01



1000...0
1200...0
1230...0
..................
1234...








В пунктах а) и б)
найти матрицу перехода к жордановой нормальной
форме.
Составить клетки Фробениуса для многочленов
λ-λ+
Найти фробениусову нормальную форму матриц:




134
560.
789





Задания для домашней работы
Найти жорданову нормальную форму матрицы
, если даны инвар
антные множители её характеристической матрицы:
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;35 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;а)
()4,()(4)(3);
ee
λ=λ+λ=λ+λ+
б)
123
()1,()2,()(2)(3),()(2)(3).
eee
λ=λ=λ-λ=λ-λ-λ=λ-λ-
Найти жорданову нормаль
ную форму
следующих
матриц
(порядок
матриц в двух последних пунктах равен


313
22927;
526
б)
3402
4524
0032
0021






в)
111...11
011...11
001...11
..................
000...11
000...01











1234...
0123...1
0012...2
..................
0000...1
В пунктах
а)
б)
найти матрицу перехода к жордановой нормал
ной форме.
Найти фробениусову нормальную форму матриц






1104
160.
719

 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;36 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;3 Псевдообратная матрица
Псевдообратная матрица
к матри
це
удовлетворяет критер
ям:
AAAAAAAA
++++
==
(т.
является слабым обращением в муль
типликативной
полугруппе);
AAAA
++
(это означает, что
AA
эрмитова матрица
AAAA
++
(
AA
тоже эрмитова матрица).
эрмитова сопряжённая
матрица
(для матриц над п
лем действительных чисел
T
Пусть
ранг матрицы
размера
. Тогда
может быть пре
ставлена как
ABC
, где
мат
рица размера
с линейно незав
симыми столбцами и
матрица размера
с линейно независ
мыми строками. Тогда
**1*1*
()()
ACCCBBB
+--
Если
имеет
ранг
то в качестве
может быть выбрана
ничная матрица
и формула сокращается до
вида
**1
AAAA
. Анал
гично, если
имеет ранг
, имеем
*1*
AAAA
Для любой
действительной
матрицы
является
псевдообратной
матрицей тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1),2)
,3)(),4)().
TT
AAAAAAAAAAAAAAAA
++++++++
Приведём алгоритм п
остроени
псевдообратной матрицы.
Пусть
есть
матрица,
rankCr
. Тогда
CCCC
Пусть
есть
матрица,
rankBr
. Тогда
BBBB
Для прои
вольной матрицы
порядка
и ранга
, псевдообратн
матриц
можно получить следующим образом:
роизводитс
скелетное разложение
матрицы

ABC
где
есть
матрица,
rankBr
есть
матрица,
rankCr
троятся матрицы
CCCC

BBBB
атрица
вычисляется из выражения:
ABCCB
==
Заметим, что если
Ann
матрица и
rankAn
, то
AA
. Для л
бой матрицы существует псевдообратная матрица
и притом только
на.
Пусть дана система уравнений
Axb
, где
матрица размера
вектор из
элементов. Любое решение этой системы является

также
решением системы
AAxAb
Псевдорешением системы
Axb
наз
вается решение системы
AAxAb
с минимальной нормой

среди всех столбцов, имеющих минимальную невязку (норма вектора
равна квадратному корн
ю из суммы квадратов компонент вектора,

невязкой решения системы
Axb
называется норма вектора
Axb
).
Решением
системы
Axb
является вектор
xAb
. Псевдо
решение

с минимальной
длиной называется
нормальным псевдорешением
стемы
Нормальное псевдорешение системы
все
гда существует, еди
ственно и определяется по фо
муле
xAb
Решение типовых заданий
Найти псевдообратн
ую матрицу
для матрицы
A
1021
0140.
2102


=-



Решение.
Найдём
rankA
1021
0140
rankA
→⇒=
В качестве столбцов матрицы
, учитывая их линейную независ
мость, возьмём первые
два столбца матрицы
A
01.
Найдём матрицу
Для этого решим уравнение
BCA

101021
101021
010140
01
0140
212102
102101
014024









 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;38 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Тогда
68
178
817
86



10
178
0117886
24
28
10
178
CCC



=⋅=



10252
22
01,
22
25
011
BB
BB


=⋅==




22102222
011251
BBB

=⋅=


9321
178
862222711
25110222
386
178
9321
--
---
Найти
нормальное
псевдо
решение системы линейных уравнений

и длину его невязки:
123
123
2371.
xxx
xxx
-+=
-+=
Решение.
Матрица систем
ы имеет вид:
112111211121
237101310131.
101101300000

---

=-→--→--



Таким образом
2,3
rankArankA
==
, то есть система несовместна.
Обозначим:

1121
237,1.
1011


=-=



Найдём
псевдообратную
матрицу
Для начала получим скелетное
разложение
ABC
, где
23.
=-
Найдём матрицу

112
1111211101
23237
01
013013
101
--→
Отсюда:
101
013
101
23
01;
310
013
=⋅=
103
10
103
103
01
32;
13
CCC



=-




--

121
67
23;
710
130

=⋅-=



107

10712131110
76130147
BBB



огда
****
ACCCBBB
--
103
279879
31110
32
72116.
147
62331


=-=--



Тогда нормальное псевдорешение имеет вид:
27987918
7211612.
62331114
xAS


=⋅=--=-


---

Найдём длину невязки:
1112118139
111
1237176197.
121121
110112299
YSAx


=-=--=--=



Отсюда
.
121
Y
Задания для аудиторной работы
Найти псевдообратную матрицу
для
следующих
матриц
а)
2011
1212;
0433
=-
б)
102
204;
131
=-
в)
120
311.
542


=-



Найти
скелетное
разложение
матриц

123
312.
138


=-



Найти
нормальное
псевдо
решение системы линейных уравнений

и длину его невязки:
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;41 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;а)
224
xx
xx
--=
б)
123
123
24;
241
xxx
xx
xxx
-+=
-+=
-+=
в)
242
363
xx
+=
+=
+=
Задания для домашней работы
Найти псевдообратную матрицу
для
следующих
матриц
а)
1102
0232;
3134
б)
123
246;
011
=---
в)
.
22
A
Найти
скелетное разложение
матриц

2163
5617.
16102
=--
Найти
нормальное
псевдо
решение системы линейных уравнений

и длину его невязки:
а)
332
-+=
б)
123
21;
53
xxx
xx
+-=
-=
в)
23.
220
xx
xx
xx
--=
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;42 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Задания
к лабораторным работам
(Во всех заданиях
номер варианта).
Лабораторная работа 1
Линейные преобразования
Найти линейное преобразование, переводящее точки
(1;),
(;0)
соответственно в
точки
(;2),(0;).
TkTk
Найти спектр линейного преобразования
, если
103
020.
kk
Ak
++
=+
Являются ли подобными матрицы
201
00
034
Ak
kk




++



03
040?
Bk


=+



Выяснить, приводится л
и матрица
к диагональному виду. В сл
чае утвердительного ответа, найти матрицу, приводящую
к диаг
нальному виду.
010.
023
Ak


=+



Лабораторная работа 2
Канонические формы матриц
Привес
ти к канонической диагональной форме матрицу
A
мя
способами:
а) с помощью элементарных преобразований;
б) с помощью инвариантных множителей.

()2.
λ=λ+λ-λ
Являются ли эквивалентными следующие матрицы:




λλ+λ+
Представить
A
в виде матричного многочлена. Является ли он
регулярным?
(1)
kkk
λ+λ-+λ+λ
λλ-
Доказать подобие матриц, используя основную теорему о подобии
матриц. Найти
такую невырожденную матрицу
, что
BRAR
01345
010,0
23001
kkkkk
AkBkk
++++


=+=+



Найти жорданову нормальную форму матрицы и найти матрицу,
приводящую её к этому виду:
010.
021





Матрицу
разделить на матрицу
справа и слева.
λ+λ-



Составить клетки Фробениуса для многочленов
λ-λ+
k
Найти фробениусову нормальну
ю форму матрицы
34
026.
172
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;44 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Лабораторная работа 3
Псевдообратная матрица
Найти псевдообратную матрицу для матрицы
111
22222.
1021
Akk
+-
=+-
Найти нормальное псевдорешение системы линейных уравнений
и длину его невязки:
123
123
(1)2
22(1)4
xkxkx
kxx
xkxkx
-++=
-+-+=
Найти скелетное разложение матрицы
A
1012
111.
22222
Akk
=+-
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;.6; 4;.80; 33; 58;&#x.891;&#x ]/S;&#xubty;&#xpe /;oot;r /;&#xType;&#x /Pa;&#xgina;&#xtion;&#x 000;45 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Литератур
1 Цехан, О. Б.
Матричный анализ
: учебное пособ
ие
О. Б. Цехан.
Гродно: ГГУ им. Я. Купалы, 2004.
371 с.
2 Комраков, Б
. Б. Матричный анализ: курс лекций
Б. Б. Комраков.
Минск: БГУ, 2006.
102 с.
3 Хорн, Р. Матричный анализ
/ Р. Хорн
, Ч. Джонсон.
М.: Мир,
1989.
655 с.
4 Тыртышников, Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра
Е.
Е.
Тыртышников.
М.:
Наука,
2005.
358 с.
Деменчук
А. К. Задачи по матричному анализу
А. К. Деменчук,
П. Размыслович, В.
М. Ширяев
Минск
БГУ,
2004
Проскуряков
В. Сборник задач по линейной алгебре
В. Про
скуряков
Наука,
1984
 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;46 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ;Производственн
практическое издание
Курносенко
Николай Михайлович,
Парукевич
Ирина Викторовна,
Подгорная
Виктория Валерьевна
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ:
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ
Практическое руководство
для студентов математического факультета
специальностей 1
31 03 03
Прикладн
ая математика
31 03 06
Экономическая кибернетика
Редактор
В. И. Шкредова
Корректор
В. В. Калугина
Подписано в печать
.201
. Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л.
Уч.
изд. л.
. Тираж
экз. Заказ 4
Из
датель и полиграфическое исполнение:
учреждение образования
Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,
пространителя печатных изданий № 1/87 от 18.11.2013.
Специа
льное разрешение (лицензия) № 02330 / 450 от 18.12.2013.
Ул. Советская, 104, 246019, Гомель.

 &#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;&#x/Att;¬he; [/; ott;&#xom ];&#x/BBo;&#xx [2;v.4; 4;.80; 32;.8 ;X.8;‘ ];&#x/Sub;&#xtype;&#x /Fo;&#xoter;&#x /Ty;&#xpe /;&#xPagi;&#xnati;&#xon 0;48 &#x/MCI; 0 ;&#x/MCI; 0 ; &#x/MCI; 1 ;&#x/MCI; 1 ; &#x/MCI; 2 ;&#x/MCI; 2 ; &#x/MCI; 3 ;&#x/MCI; 3 ; &#x/MCI; 4 ;&#x/MCI; 4 ; &#x/MCI; 5 ;&#x/MCI; 5 ; &#x/MCI; 6 ;&#x/MCI; 6 ; &#x/MCI; 7 ;&#x/MCI; 7 ; &#x/MCI; 8 ;&#x/MCI; 8 ; &#x/MCI; 9 ;&#x/MCI; 9 ; &#x/MCI; 10;&#x 000;&#x/MCI; 10;&#x 000;Н. М. КУРНОСЕНКО,
И. В. ПАРУКЕВИЧ, В. В. ПОДГОРНАЯ
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ:
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ
Гомель

Приложенные файлы

  • pdf 42018493
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий