–гамильтоновы уравнения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы Будочкина С.А. ГОУ ВПО “Российский университет дружбы народов”, sbudotchkinayandex.ru Краткая аннотация

13 EMBED Equation.3 1415–гамильтоновы уравнения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы
Будочкина С.А.
ГОУ ВПО “Российский университет дружбы народов”, [email protected]
Краткая аннотация – Исследован вопрос о представимости заданного операторного уравнения с первой производной по времени в форме 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтонового уравнения .
Ключевые слова – уравнения движения, системы с бесконечным числом степеней свободы, 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтоновы уравнения.

Введение
Распространение математических методов исследования движения конечномерных систем на случай систем с бесконечным числом степеней свободы не является тривиальной задачей. До некоторого времени не существовало единого мнения о том, что считать истинной формой уравнений Гамильтона для систем с бесконечным числом степеней свободы. Начало правильного понимания этого вопроса, связанное с определением соответствующей скобки Пуассона, было заложено в работах [1,2], во многом способствовавших развитию дальнейших исследований по неканоническим уравнениям Гамильтона. В этой связи следует также отметить работу [3], в которой определены 13 EMBED Equation.3 1415- гамильтоновы системы.
Постановка задачи

Пусть уравнения движения материальной системы представлены в операторном виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 оператор 13 EMBED Equation.3 1415 является линейным; 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный; 13 EMBED Equation.3 1415– область определения оператора 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Equation.3 1415 - действительные линейные нормированные пространства, 13 EMBED Equation.3 1415 Множество 13 EMBED Equation.3 1415 определяется внешними связями, наложенными на систему.
Предположим, что нелокальная билинейная форма
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
является симметрической и невырожденной.
В дальнейшем для упрощения обозначений будем записывать (1) в виде
13 EMBED Equation.3 1415
считая, что операторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 зависят также и от 13 EMBED Equation.3 1415.
Операторное уравнение движения (1) может быть обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнением в частных производных, интегро-дифференциальным уравнением и др., а также системой таких уравнений.
Сформулируем задачу следующим образом: представить заданное уравнение движения в форме 13 EMBED Equation.3 1415–гамильтонового уравнения.
Основные результаты
Определение. Линейный оператор 13 EMBED Equation.3 1415называется 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтоновым (относительно билинейной формы 13 EMBED Equation.3 1415если существует оператор 13 EMBED Equation.3 1415 выполнены условия
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415
· (4)
где 13 EMBED Equation.3 1415 является 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтоновым оператором, будем называть 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтоновым уравнением.

Теорема 1. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 Оператор 13 EMBED Equation.3 1415(1) является 13 EMBED Equation.3 1415- потенциальным на 13 EMBED Equation.3 1415 (2) относительно билинейной формы (3) тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 выполняются следующие условия на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
13 EMBED Equation.3 1415 (7)

Теорема 2. Условия (5) - (7) выполняются тогда и только тогда, когда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- фиксированный элемент из 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 3. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 - линейный обратимый оператор, 13 EMBED Equation.3 1415не зависит явно от 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение (1) представимо в виде 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтонового уравнения (4) тогда и только тогда, когда его оператор 13 EMBED Equation.3 1415является 13 EMBED Equation.3 1415- потенциальным на 13 EMBED Equation.3 1415 (2) относительно билинейной формы (3).

В данном случае 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтонов оператор 13 EMBED Equation.3 1415 и гамильтониан 13 EMBED Equation.3 1415имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415
Выводы
В работе получены условия 13 EMBED Equation.3 1415-потенциальности оператора 13 EMBED Equation.3 1415вида (1), в терминах необходимых и достаточных условий определена структура заданного уравнения движения в случае 13 EMBED Equation.3 1415-потенциальности его оператора, операторное уравнение с первой производной по времени (1) представлено в форме 13 EMBED Equation.3 1415-гамильтонового уравнения.
Литература
1. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега – де Фриза – вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его прил. - Т. 5. - Вып. 4. - 1971. - С. 18-27.
2. Gardner C.S. Korteweg – de Vries equation and generalizations. IV. The Korteweg – de Vries equation as a Hamiltonian system // J. Math. Phys. - V. 12. – 1971. - Pp. 1548-1551.
3. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд-во УДН, 1991. 237 стр.

13 EMBED Equation.3 1415-hamiltonian equations in mechanics of systems with infinite number of degrees of freedom
Budochkina S.A.
Russian Peoples’ Friendship University, [email protected]
Abstract – The given operator equation of motion with the first derivative with respect to time is represented in the form of 13 EMBED Equation.3 1415- Hamiltonian equation.
Кеу words  – equations of motion, systems with infinite number of degrees of freedom, 13 EMBED Equation.3 1415- Hamiltonian equations.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 34289063
    Размер файла: 155 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий