контрольного примера. y часы минуты секунды градусы минуты секунды. 1 17.1418 38.2142 17 09 39.32 -60.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БЕЗМЕНОВ В.М. КОСМИЧЕСКАЯ ФОТОГРАММЕТРИЯ Лабораторные работы Часть 1 Казань 00 8 2 Печатается по решению Редакционно - издательского совета физического факультета КГУ. УДК 58.7 Методические указания разработаны в соответствии с программой курса «Космическая фотограмметрия». В методическом указании даны расчетные работы по ряду вопросов, рассматриваемых в курсе космической фотограмметрии. Приводятся теоретич еские основы аппарата алгебры кватернионов и проективной геометрии, основные зависимости, которых используются при выполнении лабораторных работ. Рецензент: доцент, к.ф. - м.н Боровских В.С. 3 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Теоретические основы алгебры кватернионов ………………. 5 Введение ………………………………………………………… 5 1.1. Система обозначений и определения …………………………. 6 1.2. Умножение кватернионов и матрицы ………………………… 14 1.3. Представление элементов матрицы вращения через компоненты кватерниона …………… ………………………… 17 1.4. Случайные кватернионы ………………………………………. 18 1.5. Кватернионы и вращение векторов …………………………… 19 1.6. Связь параметров кватерниона с угловыми элементами ориентирования аэрокосмического снимка …………………. . 22 1.7. Прямой способ определения угловых элементов ориентирования аэрокосмического снимка ………………… .. 2 5 Литература …………………………………………………… .. 2 6 2. Теоретические основы проективной геометрии …………… .. 2 8 Введение ……………………………………………………… …  8 .1. Группа проективных преобразо ваний ……………………… …  8 .. Проективное пространство и проективная плоскость ……... .. .3 2 2.3 Однородные координаты …………………………………… …. 3 7 .4. Двойное отношение ………………………………………… …. 41 .5. Проективные координат ы …………………………………… … 4 8 .6. Определение с ферических координат объекта с использованием векторной интерпретации проективных координат. Способ Ю.М. Трунина ………………………… … . 5 6 Литература ………………………………………………… … … 5 8 4 Лабораторная работа ‬ 1 . Прямое определение элементов ориентирован ия космического снимка ………………………………………… …… 5 9 Лабораторная работа ‬ 2. Определение сферических координат объекта из обработки снимка звездного неба …………………………… …… 6 4 5 1.Теоретические основы алгебры кватернионов Введение Нео бходимость расширения операций трехмерной векторной алгебры до операций умножения и деления привела Гамильтона (1843 г.) к созданию системы кватернионов. Кватернионы были незаслуженно забыты и до 60 - х годов ХХ столетия практически не использовались. С се редины 60 - х годов того же столетия кватернионы начинают применять в аналитической фотограмметрии и других прикладных науках. Среди отечественных учѐных, уделивших достойное внимание применению кватернионов в фотограмметрии, космической фотограмметрии и ге одезии следует отметить М.С. Урмаева, М.И. Щербакова, Л.И. Араманович. Выдающийся учѐный, профессор М.С. Урмаев в своѐм учебнике по космической фотограмметрии, в частности, отмечает: «В настоящее время кватернионное исчисление является составной час тью математического аппарата современной космической фотограмметрии и космической геодезии». Общепризнанным можно считать эффективность решения задач, связанных с композициями вращений пространства, при помощи кватернионов. Применение кватер нионов имеет ряд несомненных преимуществ по сравнению с описанием вращений при помощи эйлеровых углов, поскольку они (кватернионы) дают возможность получить сразу координаты вектора в новой системе координат при повороте пространства на угол вокруг некоторой инвариантной оси . Говоря об эффективности использования кватернионов при описании вращений, будет уместным отметить и тот факт, что именно кватернионы интенсивно используются в современной компьюте рной графике, в частности, в компьютерных играх. 6 1 .1. Система обозначений и определения Существует несколько систем обозначений в записи кватернионов. Наиболее удачной следует считать систему, используемую Л.И. Араманович, которой мы и будем придерживать ся. Под кватернионом понимают гиперкомплексное число, геометрически реализуемое в четырѐхмерном пространстве. Число, составленное из действительной единицы 1 и трѐх мнимых единиц с действительными элементами следующего вида: , (1.1) где есть любые реальные числа и три мнимые единицы называется кватернионом. В отношении обозначения мнимых единиц следует отметить, что Гамильтон их так же обозначал через . Далее, кватернион будем записывать так . (1.2) Число называется реальной (или скалярной) частью кватерниона , которую будем обозначать через . Сумма всех остальных членов называется мнимой (или векторной) частью кватерниона , которую будем обозначать через . Мнимые единицы можно идентифицировать с базисными векторами некоторой 3 - х мерной ре ф еренцн ой системы координат . Поэтому, величины можно рассматривать как координаты 7 некоторого вектора в системе . С учѐтом этих обозначений кватернион запишется в виде . (1.3) С другой стороны, любой вектор в системе координат может быть ассоциирован с мнимым кватернионом . Данное обстоятельство весьма важно и будет использоваться в дальнейшем при рассмотрении отдельных вопросов фотограмметрии. Отметим, вектор и соответствующий ему кватернион обозначен ы одной буквой - . Отличие в том, что у кватерниона отсутствует знак присущий обозначению векторов. Коэффициенты кватерниона могут быть не только скалярами, но и функциями. Например, если коэффициенты кватерниона зависят от параметра , мы будем иметь . (1.4) Арифметические операции между кватернионами. Изл ожим основные постулаты, определяющие действия над кватернионами. 1. Равенство двух кватернионов . Два кватерниона и равны, если равны их реальные и мнимые части, т.е. равны их элементы . 2. Сумма кватернионов . Суммой кватернионов и называется кватернион, элементами которого являются величины : 8 . (1.5) С учѐтом предста вления кватерниона в виде (1.3) сумма двух кватернионов и запишется . (1.6) 3. Умножени е кватерниона на скаляр . При умножении кватерниона на скаляр происходит умножение на это число всех его элементов: , (1.7) . (1.8) Из этих определений следует, что сложение кватернионов и умножение их на скаляр подчиняются правилам обычной алгебры (эти операции являют ся коммутативными, ассоциативными и дистрибутивными): 4. , 5. , ; (1.9) 6. ; 7. Умножение базисных единиц . В кватернионной алгебре вводятся следующие правила умножения базисных единиц: (1.10) 9 Правила умножения мнимых единиц достаточно легко запомнить, пользуясь хорошо известным в физике правилом буравчика. При этом следует предположить, что являю тся ортами правой системы координат. Вращение оси против часовой стрелки до совмещения с осью будет соответствовать вкручиванию «буравчика» по направлению оси (Рис.1.1). Этому движению соответствует умножение: . Выкручиванию «буравчика» -- совмещение оси с осью (вращение по часовой стрелке), будет соответствовать умножение: . Аналогично устана вливаются оставшиеся 4 соответствия. Рис. 1.1 Умножение мнимых единиц по правилу буравчика Можно, так же, использовать следующее представление (Рис.1.): При умножении двух единиц расположенных по стрелке, получается третья единица с плюсом; при движении в обратную сторону (против стрелки) единица берѐтся с минусом. k j i 10 Рис. 1. Умножение мнимых единиц 8. Умножение двух кватернионов . Умножая два кватерниона и , мы получим кватернион , коэффициенты которого равны: (1.11) Данные выражения можно получить, руководствуясь соотношениями для мнимых единиц (10). С учѐтом выражения (3), принятого для записи кватерниона, произведение двух кватернионов и можно записать в следующем виде: (1.12) где и есть соответственно скалярное и векторное произведение векторов и . j i k 11 Умножение кватернионов обладает ассоциативными и дистрибутивными свойствами. Дл я любых кватернионов справедливы равенства: (1.13) Умножение кватернионов не коммутативно, т.е. . Очевидно, что п ерестановка сомножител ей допустима, т.е. , когда один из кватернионов есть скаляр, или когда их векторные части являются коллинеарными векторами (пропорциональны). Тем не менее, для двух произвольных кватернионов имеет место равенство: . (1.14) Произведение двух кватернионов равно нулю, т.е. только тогда, когда один из сомножителей равен нулю: либо , либо . Правила умножения кватернионов чрезвычайно удачны ‬ благодаря им алгебра кватернионов содержит в себе алгебру действительных и комплексных чисел, а также трѐхмерную векторную алгебру. 9. Сопряжѐнный кватернион . Кватернионом, сопр яжѐнным данному кватерниону , называется кватернион равный: . (1.15) Для сопряжѐнного кватерниона справедливы следующие соотношения: 12 (1.16) . 10. Норма кватерниона . Норма кватерниона обозначается через и находится следующим образом: . (1.17) Норма кватерниона является действительным числом. Кватернион называется нормированным, если его норма равна единице, т.е. . Для нормы кватерниона очевидны свойства: (1.18) Величина имеет название тензора данного кватерниона. Очевидно, что тензор единичного кватерниона равен единице. 11. Обратный кватернион . Кватернионом обратным данному кватерниону называется кватернион , для которого выполняется равенство . Для нормированного кватерниона мы имеем . Для мнимого нормированного кватерниона, т.е. для кватерниона ассоциируемого с единичным вектором, имеет место 13 Кватернион, обратный произведению кватернионов, находится следующим образом: . (1.19) 12. Тригонометрическая форма кватерниона . Любой кватернион с действительными элементами может быть представлен в следующем виде: (1.20) Здесь есть единичный вектор, направленный по вектору : , (1.21) , , . (1.22) Вектор называется также осью кватерниона. Величина называется верзором кватерниона. Заметим, что это ‬ кватернион, норма которого равна единице. Очевидно, что = = . В выражен ии (1.0) для кватерниона знак угла определяется выбором направления единичного вектора . По сути дела, в выражениях для и , следовало бы поставить знаки , поскольку, пока не установлен однозначный выбор положительного 14 направления счѐта угла и положительного направления единичного вектора . Кватернион (1.0) запишем в следующем виде: . (1.23) 13. Кватернионы со специальными осями. Пусть S есть 3 - х мерная, правя, ортогональная система координат с базисными векторами, идентифицируемыми с единицами (мнимыми) кватерниона. Предположим, что есть нормированный кватернион с базисным вектором i . Тогда в соответствии с (1.0) и (1.3) будем иметь (1.24 ) Аналогично, кватернионы и с осями j и k соответственно: (1.25) Угол - произвольный параметр. 1.. Умножение кватернионов и матрицы Интересным представляется представление операции умножения кватернионов в матричной форме. Пусть . 15 Пусть та к же, вектор есть 4 - х мерный вектор с координатами равными коэффициентам кватерниона А, т.е. кватерниону ставим в соответствие 4 - х мерный вектор . Кватерниону В поставим в соответствие вектор . Произведение двух кватернионов А и В даст третий кватернион: С=АВ. Параметры этого кватерниона С вычислятся по формулам (1.11). Тем не менее, этому новому кватерниону можно поставить в соответствие свой 4 - х мерный вектор, который можно определить с ледующим образом: (1.26) Матрица и матрица в выражении (1.6) соответственно равны: = , = . (1.27) Для некоторого произвольного кватерниона А матрицы и можно представить в виде: , , (1.28) где -- единичная матрица размером 3х3, 16 . (1.29) Некоторые свойства матрицы : (1.30) Некоторые свойства матриц и : (1.31) Лемма : Для любого кватерниона имеют место следующие равенства: , (1.32) 17 Используя матрицы и можно легко заменить уравнения в кватернионах на уравнения в матрицах. В частности, для кватерниона матричная форма записи будет следующая: , (1.33) где -- 4 - х мерный вектор, соответствующий кватерниону С. Для очень важного в дальнейшем случая -- имеющего место при описании вращения, с учет всего выше изложенного буд ем иметь: . (1.34) 1.3. Представление элементов матрицы вращения через компоненты кватерниона. Элементы матрицы вращения можно вырази ть через элементы нормированного кватерниона с нормой равной единице. . (1.35) 18 Данная форма представления матрицы П называется родригесовой формой ортогональной матрицы, а сама матрица П ‬ матрица Родригеса, котор ую в кватернионной алгебре принято обозначать через где : . (1.36) 1.4. Случайные кватернионы Случайные кватернионы являются наиболее важными в приложениях, связанных с измерениями, «шумами» в теории ко нтроля и т.д. Допустим есть кватернион со случайно изменяемыми коэффициентами ; i , j , k ‬ являются мнимыми единицами как и прежде. Кватернион А называется в этом случае случайным кватернионом. Среднее значение (математическое ожидание) случайного кватерниона есть: . (1.37) Для случайного кватерниона существует ковариационная матрица, которая определяе тся следующим образом: 19 , ( 1.38 ) где , ( 1.39 ) Среднее квадратическое уклонение случайного кватерниона А находится: (1.40) где а -- диагональные элементы матрицы . 1.5. Кватернионы и вращение векторов Так как реальные и комплексные числа можно рассматривать как точки на комплексной плоскости соответственно, алгебраические операции с числами соответствуют геометрическим преобразованиям точек. Например, умножение на комплексное число z , можно инт ерпретировать как конечное вращение в комплексной плоскости. Кватернионы являются расширением комплексных чисел и можно ожидать, что алгебраические операции среди них имеют нетривиальную дополнительную геометрическую интерпретацию. Существует теорема, кото рая гласит о следующем: Предположим S есть 3 - х мерная правосторонняя ортогональная система координат с базисными векторами идентифицируемыми с i , j , k . Допустим, A и R являются произвольными кватернионами с ненулевой частью, 20 относящейся к S . Далее, предпол ожим, что и тригонометрическое представление кватерниона A является следующим: , (1.41) где есть единичный вектор, ось вращения кватерниона A . Тогда норма и скалярная часть кватерниона (1.42) является равной, что и кватерниона R . Коэффициенты мн имой части являются равными координатам вектора , являющегося результатами конечного вращения вектора на угол против часовой стрелки вокруг оси . Простейшим примером, иллюстрирующим данную теорему является следующий пример. Пусть кватернион A равен: . Тогда кватернион равный , (1.43) в матричной форме в соответствии с (1.33), (1.34) буде т иметь вид . Важным является представление в кватернионной форме привычного для нас геометрического преобразования ‬ переход из одной системы координат в другую. В нашем случае -- преобразовани е вектора из 21 системы координат в систему координат , т.е. в вектор ; Пусть т рѐхмерный вектор точки задан в правой системе коорди нат : . ( 1.44 ) Вектор -- есть вектор э той же точки, который задан в правой системе координат . Поставим в соотвествие вектор у кватернион = . (1.4 5 ) Вектору , заданному в системе координат поставим в соответс т вие кватернион : . ( 1.46 ) Разв орот двух систем координат: относительно ; определим посредством кватерниона вращения . В нормированном п р остранстве элементы кватерниона факти чески представляют собой направляющие косинусы оси вращения. Вращение осуществляется вокруг этой оси против часовой стрелки на угол , . Преобразованию вектора в бу дет соответствовать выражение: , ( 1.47 ) где -- сопряжѐнный кватернион. 22 Поставим в соответствие кватерниону четырехмерный вектор = . ( 1.48 ) Согласно ( 1.47 ) в матричном виде для будет иметь место следующее выражение: , ( 1.49 ) где и имеют вид аналогичный ( 1.27 ), но применительно к кватерниону А . Известно так же, что произведение двух матриц может быть представлено следующим образом: , ( 1.50 ) где -- матрица Родригеса . 1. 6 . Связь параметров кватерниона с угловыми элементами внешнего ориентирования аэрокосмических снимков Связь параметров кватерниона с системой углов ориентирования -- углов Эйлера , исп ользуемых в космической фотограмметрии: ; ; ( 1.51 ) 23 ; . Вращение осуществл яется против часовой стрелки на углы , , . Связь параметров кватерниона с первой системой углов ориентирования аэроснимка ( ) : ; ; ; ( 1.52 ) . Вращение осуществляется против часовой стрелки на углы , , . Связь параметров кватерниона со второй системой углов ориентирования аэроснимка ( ): ; ; ( 1.53 ) 24 ; . Вращение производится против часовой стрелки по каждому из углов, причем, вокруг  - ой оси вращение осуществляется на угол . М атрица Родригеса , вычисляемая по параметрам кватерниона ( 1.51 ), ( 1.52 ), совпадает с ортогональной матрицей, элементы которой вычисляются по углам Эйлера при любых значениях углов . Зная матрицу Родригеса можно определить значения углов любой системы угловых элементов ориентирования. В частности, вычисления углов ориентирования, с учетом выше изложенного, будут производиться по следующим известным соотношениям: -- для первой системы элементов ориентирования ( ): ( 1.54 ) -- для второй системы элементов ориентирования ( ): ( 1.55 ) -- для системы углов Эйлера : ( 1.56 ) -- для угловых элементов ориентирования наземного снимка ( ): ( 1.57 ) 25 1. 7 . Прямой способ определения углов ых элементов ориентирования аэрокосмического снимка Суть способа прямого определения угловых элементов ориентирования снимка состоит в следующем . Пусть на снимке имеются изображения двух опорных звезд. Зафиксируем положение снимка относительно инерц иальной системы координат (ИСК) j xyz , которое он занимал в момент съемки . При этом -- направление на первую звезду в инерциальном пространстве, -- направление на первую звезду в системе координат снимка. Повернем систему координат снимка ixyz вокруг оси так, чтобы направления и совпали, т.е. чтобы направления на первую звезду в пространстве изображения и в инерциальном пространстве стали коллинеарны. В результате такого поворота система координат снимка ixyz перейдет в некоторую промежуточную систему координат , в которой направление на первую о порную звезду совпадает с направление на эту же звезду в ИСК, а направление на вторую звезду не совпадает. Теперь необходимо повернуть систему координат до совмещения с инерциальной ixyz . Осью вращения второг о поворота будет вектор направления на первую опорную звезду -- . Располагая кватернионами первого и второго поворотов (нормированными кватернионами) можно найти кватернион общего поворота как их п роизведение. Определив общий кватер нион поворота можно вычислить родригесову форму ортогональной матрицы, а затем через еѐ элементы углы ориентирования снимка. 26 ЛИТЕРАТУРА 1. Урмаев М.С. Применение алгебры кватернионов в фотограмметрии. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1986, № , с. 81 - 90. 2. Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия. М.: Недра 1989 3. Арманович Л.И. Применение кватернионов для определения элементов внешнего ориентирования снимков. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, № 6, с. 110 - 119. 4. Арманович Л.И. Применение кватерн ионов для определения элементов взаимного ориентирования снимков. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1990, № 46, с. 99 - 110. 5. Dr. Ljudmila Meister (geb. Armanovitch). Quaternions and their 6. Щербаков М. И. Определение угловых элементов внешнего ориентирования звездного снимка. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъѐмка, 1978, № 1, с. 117 - 122. 7. Щербаков М.И. Прямой способ определения кватерниона поворота системы координат снимка. Изв. вузов. Геодезия и аэрофот осъѐмка, 1994, № 4 - 5, с. 116 - 128. 8. Dr. Ljudmila Meister (geb. Arаmanovitch). Quaternions and their 9. Урмаев М.С. , Родин С.П. Определение параметров преобразования геодезических прямоугольных пространствен ных координат при произвольных значениях параметров. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, № 4 - 5, с. 3 - 14. 10. Урмаев М.С., Фролов А.В. Определение параметров преобразования геоцентрических систем координат с 27 использованием алгебры кватернионов. Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1999, № 4, с. 46 - - 51. 11. Безменов В.М. Кватернионы в фотограмметрии. Уравнение коллинеарности. Геодезистъ, 00, № 1, с. 1 - 14. 12. Куштин И.Ф., Бруевич П.Н., Лысков Г.А. Справочник техника фотограмметриста.М.: Недра, 1988 13. Лоба нов А .Н. Фотограмметрия. М. : Недра ,1984, 55 c . 28 .Теоретические основы проективной геометрии Введение Каждая область геометрии занимается изучением геометрических свойств, инвариантных по отношению к той или иной сов окупности преобразований. Проективная геометрия изучает проективные свойства фигур, которые не разрушаются при проективных преобразованиях - операциях проектирования и сечения. Эти свойства являются более общими и более прочными свойствами фигур, чем свойства аффинные и метрические. К основным инвариантам проективной геометрии относят двойное (сложное) отношение четырех коллинеарных точек, сопутствующее ему двойное отношение четырех прямых пучка прямых и четырех плоскостей пучка плоскостей, а та кже проективные координаты. .1. Группа проективных преобразований В начале Х1Х века Понселе установил точечное преобразование пространства, осуществляемое кратным проектированием, и получившее поэтому название проективного преобразования. Г руппа проективных преобразований лежит в основе проективной геометрии, включающей корреляции и коллинеации. Корреляции ставят в соответствие точке первого пространства единственную плоскость второго пространства, а коллинеации - точке точку, прямой прямую, плоскости плоскость. Коллинеарное соответствие в пространстве описывается дробно - линейными функциями с общим знаменателем 29 (2.1) где - координаты точки после преобразования; - координаты точки до преобразования; - параметры преобразования ( i , j =1,2,3). Если определитель четвертого порядка, составлен ный из коэффициентов отличен от нуля, то уравнения (.1) однозначно разрешаются относительно , , , именно: (2.2) Каждой точке ( , , ), в которой знаменатель дробей (.1) не обращается в нуль, отвечает определенная точка ( , , ) и обратно каждой точке ( , , ), в которой знаменатель дробей (.) не обращается в нуль, соответствует определенная точка ( , , ). К оллинеации в пространстве представляют собой 15 - ти членную группу проективных преобразований, так как дело идет только об отношениях 16 - ти коэффициентов в уравнениях (.1). 30 Таким образом, коллинеарное соответствие в пространстве вполне определится, если пяти произвольным точкам первого пространства, из которых никакие четыре не лежат на одной плоскости, задать пять соответствующих точек второго пространства, также не лежащих на одной плоскости. Добавленные условия находят свое аналитическое обоснован ие в том, что при вычислении коэффициентов никакие определители четвертого порядка из координат четырех точек не должны обращаться в нуль. Проективные преобразования всего 3 - х мерного пространства, не сводящиеся к аффинным, могут быть рассматриваемы как взаимно - однозначные только в том случае (как это отмечается в следующем разделе), если евклидово пространство обогащено несобственными элементами, т.е. расширено до проективного. Чтобы охватить этот случай, переходят к однородным координатам (четырем в п ространстве - , , , ), которые при любых их значениях определяют точку. В однородных координатах проективное преобразование в пространстве выражается уравнениями (2.3) где есть функция от однородных координат , , , [18,35,41]. Для плоскости, если ограничиться собственными точками, формулы коллинеарного соответствия имеют вид: 31 (2.4) где , - координаты точки после преобразования; , - координаты точки до преобразования; - параметры преобразования. Формулы (.4) проективного преобразования координат точек плоскости получены методами дифференциальной геометрии в начале ХХ века Шефферсом. Задача ставится с целью найти структуру функций (2.5) которые прямую (2.6) преобразуют в прямую (2.7) Решая задачу, Шефферс получает систему дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять функции (.5) при условии (.6) и (.7). Интегрирование этих уравнений приводит их к дробно - линейным выражениям (.4). Поделив числитель и знаменатель выражений (.4) на один из параметров, отличный от нуля, получим функции 32 восьм ипараметрические. Поэтому, группу проективных преобразований плоскости называют восьмипараметрической (восьмичленной). Параметры в функциях (.4) могут быть определены по координатам соответствующих четырех точек до и после преобразования. При этом, четв ерки точек по три не должны быть коллинеарными, т.е. не лежать на одной прямой. Вместо четырех точек для определения параметров можно включить соответствующее число пар прямых или комбинаций прямых и точек. Исследование выражений (.4) приводит к неопреде ленной зависимости точек с координатами , и , , когда знаменатель дробей в выражениях (.4) равен нулю. Помимо этого, даже, если знаменатель не равен нулю, точки прямой не имеют себе соответствующих образов и поэтому взаимно однозначное соответствие для точек этой прямой нарушается. Этот недостаток абстрактным образом устраняется путем введения несобственных элементов и замены неоднородных декартов ых координат точек плоскости однородными координатами. Геометрические представления о преобразованиях предлагают два поля точек в одной системе координат и при этом одно поле точек преобразуется в другое. Однако бывает целесообразным представлять од но поле точек в двух разных системах координат и говорить о преобразовании точек из одной системы координат в другую. В связи с этим вводят понятие проективной системы координат, состоящей из фиксированных четырех по три неколлинеарных точек. .. Проект ивное пространство и проективная плоскость Проективное пространство может быть получено как непосредственное расширение обычного евклидова пространства. 33 Дополнение евклидова пространства его несобственными элементами является тем шагом, кот орый устраняет неопределенности в проективных преобразованиях геометрических образов и делает этот процесс взаимно - однозначным. В подтверждение этому рассмотрим простейший пример. Пусть на некоторой евклидовой плоскости имеетс я произвольная прямая и точка , не принадлежащая этой прямой (рис..1). Прямые, проходящие через точку , составят плоский пучок лучей. Устанавливая соответствие между лучами этого пучка и точками прямой ,видно, что луч пучка, параллельный прямой не пересекает ее, т.е. не имеет соответствующей себе точки. Таким образом, соответствие между прямыми пучка с центром в точке и точками прямой не является взаимно однозначным. Рис..1 Неоднозначность в проектировании. Для того чтобы проектирование было взаимно однозначным необходимо, чтобы параллельные прямые и имели общую точку. Иначе говоря, множество точек обыкновенной прямой евклидова пространства необходимо дополнить бесконечно удаленной 34 (несобственной) точкой. В результате такого дополнения определится проективная прямая, имеющая единственную несобственную точку, независимо от того, в какой плоскости будет строиться пучок, ее определяющий. Таким образо м, расширение евклидовой прямой до проективной приводит к тому, что процесс проектирования становится взаимно однозначным. Под несобственной точкой прямой, лежащей в данной плоскости подразумевают то общее, что имеют все прямые, лежащ ие в этой плоскости и параллельные данной прямой. При проектировании этих прямых на другую плоскость мы получим в ней не совокупность параллельных прямых, а совокупность прямых, проходящих через одну и ту же точку (рис..). Рис. . Геометрическая интерпретация несобственной точки. Совершенно очевидно, что и плоскость в евклидовом пространстве, как носитель проективной прямой, превращается в проек тивную плоскость путем присоединения к плоскости евклидова пространства одной несобственной прямой, являющейся геометрическим местом несобственных точек этой плоскости. 35 Можно показать, что геометрическим местом всех несобственных прямых всех плоскос тей пространства является плоскость, которую называют несобственной плоскостью всего пространства. Данное пространство имеет одну несобственную плоскость. Существенным является то, что проективная геометрия признает полное равноправие между собствен ными и несобственными элементами. Поскольку при проектировании несобственные элементы могут переходить в собственные и наоборот, то проективного различия между ними не существует. Для каждой отдельно взятой и в проективном смысле равноправны межд у собой, и поэтому любую точку этой прямой можно назвать несобственной точкой. Точно так же, рассматривая отдельно какую - нибудь плоскость, каждую прямую, лежащую на ней, можно принять за несобственную прямую, а точки пересечения этой прямой со всеми др угими прямыми той же плоскости считать несобственными точками этих прямых. Поскольку на проективной плоскости все элементы равноправны и не выделено несобственной прямой, то вопрос о метрических свойствах фигур, принадлежащих этой плоскости, не имеет проективного содержания. Последние, как известно, связаны с несобственными элементами плоскости. Задача построения проективного пространства может быть также решена на собственной аксиоматической базе. Из пяти групп гильбертовых аксиом - аксиом соеди нения, аксиом порядка, аксиом конгруэнтности, аксиомы параллельности, аксиомы непрерывности, базой для построения проективного пространства являются лишь аксиомы соединения, порядка и непрерывности. Рассмотрим возможные модели проективной плоскости. В обычном трехмерном евклидовом пространстве можно построить ряд геометрических форм, аксиоматически эквивалентных геометрическому образу проективной плоскости. Наиболее простой 36 моделью проективной плоскости является евклидова плоскость, дополненная несобст венными точками. Другая модель проективной плоскости была указана Ф.Клейном - полусфера с идентифицированными концами диаметров экваториального круга. В этой модели несобственная точка прямой изображается на сфере не одной, а двумя точками - противополож ными точками экватора. Поверхность, полностью топологически эквивалентная проективной плоскости является замкнутой, односторонней поверхностью - конус, опирающийся на лист Мебиуса. Такая проективная плоскость может быть построена только в четырехмер ном пространстве. Для нас в дальнейшем будет иметь важную роль модель проективной плоскости, представляющая связку прямых в пространстве (рис..3). Рис..3 Модель проективной плоскости. Связка прямых. Связка прямых представляет собой совокупность прямых пространства, проходящих через одну точку пространства. Если связку пересечь плоскостью, не проходящей через центр связки, то в сечении получится проективная плоскость в обычно м смысле. Каждая прямая связки при пересечении с плоскостью даст точку (рис..3), а каждая плоскость связки даст прямую (рис..4). Прямые линии связки, 37 параллельные секущей плоскости, дадут несобственные точки, а плоскость, параллельная секущей плос кости, даст несобственную прямую. Здесь можно использовать принцип двойственности, согласно которому плоскому полю будет соответствовать совокупность всех прямых и плоскостей, проходящих через одну точку, т.е. связка прямых и плоскостей. Эту мо дель проективной плоскости мы будем в дальнейшем использовать при векторной интерпретации инвариантных соотношений проективной геометрии. Рис..4 Модель проективной плоскости. С вязка плоскостей. .3 Однородные координаты Под однородными координатами точек проективной плоскости понимается класс ненулевых пропорциональных между собой троек вещественных чисел ( , , ). Ф.Клейн отмечает, что впервые однородные координаты были введены Мебиусом в 187 г. под названием барицентрических координат. Мебиус фиксировал в 38 плоскости три неколлинеарные точки, в которых предполагал подвешенными грузы. Положение четве ртой точки он характеризовал как центр тяжести трех фиксированных точек с конкретными значениями грузов - барицентрическими координатами. Более простую интерпретацию однородных координат. Рассмотрим проективную плоскость как связку прямых (рис..5) сов местно с пространственной системой координат. Направлению каждой прямой связки можно поставить в соответствие тройку чисел , , или тройку чисел, пропорциональных , , . Рассекая связку прямых плоскостью, которая не проходит через вершину связки, получим поле точек. Каждой точке соответствуют пары чисел , в плоской системе координат, их называют н еоднородными координатами. Тройки чисел определяющие соответствующие направления прямых, называют однородными координатами точек плоскости. Говорят, что однородные координаты не изменяются, если их умножить на отличный от нуля множитель ( ). Для координат различных точек значения могут быть разными. Однородные координаты однозначно определяют положение точки на плоскости и это положение определяется отношением однородных координат : : . Геометрическая интерпретация однородных координат приведена на рис..5. На нем изображена прямая связки с вершиной и плоскость , котор ая не содержит . Пересечение прямой с плоскостью определит точку . Проекции отрезка на оси координат будут однородными координатами точки . Им ставится в соответствие вектор или . Этот вектор называют вектором - направлением или однородным вектором точки плоскости. 39 Рис..5 Геометрическая интерпретация одно родных координат точки. Будем считать, что однородному вектору соответствует тройка чисел ( , , ) ‬ однородных координат: , где третья координата = const . Пусть - проективная плоскость, за модель которой принята соответствующая евклидова плоскость и пусть на плоскости задана декартова система координат. Если точка является собственной точкой плоскости и имеет декартовы координаты ( ) то однородными координатами точки будет тройка чисел ( ), не равных одновременно нулю и таких, что ; , (2.8) при . Если точка расположена на бесконечно удаленной прямой, т.е. является несоб ственной точкой плоскости, то у нее отсутствуют неоднородные координаты, поэтому сделанное определение однородных координат непригодно для точек, лежащих на несобственной прямой. 40 Однородными координатами несобственной точки называют тройку чисел ( ), удовлетворяющих следующим условиям: 1) ; 2) из двух чисел и хотя бы одно отлично от нуля; 3) отношение координат , где и коэффициенты уравнения (.6) любой прямой, проходящей через эту несобственную точку. Однородным вектором можно описывать положение бесконечно удаленных (несобственных) точек плоскости П. Это объясняется воз можностью изменять для каждой точки множитель . Например, все однородные векторы точек плоскости могут быть единичными, т.е. концами задавать точки сферы с центром в точке S . В этом одно из преимуществ однородных координат. Используя однородные координаты и заменяя ( ), ( ) отношениями (2.9) формулы проективных преобразований (1.4) записывают в следующем виде: (2.10) Произвольный множитель пропорциональн ости , стоящий в левой части этих уравнений показывает, что дело идет только об отношениях . Выражения (.10) проективных преобразований точек плоскости могут быть записаны в матрично - векторной форме 41 (2.11) где - матрица коэффициентов ; и - однородные векторы. Однородные координаты удобны не только для описания положения несобственных элементов. Они, что не менее важно, позволяют решать задачи проективной в векторной форме. .4. Двойное от ношение Недостатком однородных координат является зависимость их от выбора начала и системы координат, в которой заданы вектор - направление (точки проективной плоскости) Лишено этого недостатка двойное отношение четы рех коллинеарных точек, а также сопутствующее ему двойное отношение четырех прямых пучка и двойное отношение четырех плоскостей пучка плоскостей. Пусть заданы четыре точки , , , некоторой прямой (рис.1.8); тогда двойным отношением называют отношение отрезков (2.12) где и - обозначение двойного отношения. Рис..6 Двойное отношение отрезков Двойное отношение не изменяется при любых проективных прео бразованиях; оно является основным метрическим инвариантом проективной геометрии. 42 Рассмотрим простейший пример. На рис..7 изображены четыре прямые , , , одной пл оскости, проходящие через одну точку (центр проекции) и пересекающиеся двумя секущими прямыми и в точках и соответственно в точках . Вс ледствие свойства инвариантности двойного отношения будет иметь место равенство . (2.13) В общем случае отношение (.13) называют ангармоническим. Говорят , что четыре точки проективной прямой образуют гармоническую группу, если их двойное отношение равняется - 1. Это значит, что базисная пара точек и разделена делящей парой точек и так, что простые отношения трех точек из гармонической четверки, равны по величине, но противоположны по знаку, т.е. . Сложное отношение обладает свойством (2.14) т.е. . При перестановке точек внутри какой - нибудь отдельной пары имеет место зависимость . (2.15) 43 Рис..7 Инвариантность двойного отношения Рис..8 Двойн ое отношение компланарных векторов Двойное отношение может быть представлено скалярной функцией компланарных векторов. Пусть имеется четыре компланарных вектора , , , перспективного ряда и сопутствующие им четыре коллинеарные точки , , , прямолинейного ряда (рис..6). Тогда дв ойное отношение может быть выражено через скалярную функцию векторов ( = 1,,3,4) по формуле: 44 (2 .16) где - скалярное произведение векторов и ; - скалярное произведение вектор ов и . Как видно из (1.13) и (1.14,) двойное отношение четырех коллинеарных точек и сопутствующее ему двойное отношение четырех компланарных прямых пучка не зависит от выбора центра проектирования и от системы координат, в которой заданы векторы - направления ( = 1,,3,4) или точки ( = 1,2,3,4). Действительно, правая часть выражения (.16) не зависит от значения модулей векторов ( = 1,,3,4), так как они содержатся как в числителе, так и в знаменателе дроби. Представляя, что векторы , , , концами опираются на точки можно увидеть, что векторные произведения из , , , будут пропорциональны пло щадям треугольников с вершиной в точке S . В связи с этим, двойное отношение, выраженное через скалярную функцию векторов (.16) можно рассматривать как число, образованное из отношений площадей треугольников, что равносильно отношениям их оснований. Рассма тривая рис..9, в плоскости , представим пять точек , , , , . В соответствие им поставим пять однородных векторов , , , , . Нормали к плоскостям пучка плоскостей с ребром определяются векторными произведениями , , , . Каждый из этих векторов определяет ориентацию плоскости, которая рассекает проективную плоскость по соответственным прямым , , , (рис..10). 45 Легко усмотреть компланарность четырех векторов , , , : векторное произведение между двумя любыми парами из этих векторов определяет нап равление ребра пучка плоскостей , , , (рис..10). Рис..9 Двойное отношение. Однородные векторы и соответствующие им точки плоскости 46 Рис..10 Двойное отношение. Компланарность четырех векторов , , , Руководствуясь структурой формулы (.16), составим двойное отношение четырех компланарных векторов , , , (рис..11). (2.17) также равное двойному отношению соответственных прямых. 47 Рис. .11 Компланарные векторы Выполнив векторные преобразования в правой части выражения (.17), получим (2.18) где , , , - смешанные произведения, составленные из однородных векторов , , , , . Если построить пучки плоскостей с ребрами и ,которым в плоскости будут соответствовать пучки прямых с вершинами в точках и , то соответствующие им двойные отношения и будут определены формулами (2.19) (2.20) Сравнивая выражения для , и , приходим к выводу, что 48 или (2.21) Отмечается, что при коллинеа рности точек , , , двойное отношение не зависит от выбора точки вне прямой , а при коллине арности точек , , , двойное отношение не зависит от выбора точки вне прямой . Подобное имеет место и для , которое не зависит от выбора точки вне прямой при коллинеарности точек , , , . Таковы векторные пр едставления двойного отношения - основного метрического инварианта проективной геометрии. .5. Проективные координаты Метод декартовых координат, применяемый в аналитической геометрии, не может непосредственно применяться к решению задач пр оективной геометрии, поскольку несобственные элементы проективной плоскости и проективного пространства в евклидовом пространстве не определяются. Проективная система координат на проективной плоскости определяется заданием четырех фиксированных неколлинеа рных точек , , , (рис..1). Точка называется началом двух проходящих через нее прямых и . Одна из этих прямых, допустим прямая , пусть будет осью ,а другая, т.е. - осью . Если представить, что проективная плоскость "разрезана" вдоль несобственной прямой , то точки и в таком случае принимают за собственные точки 49 , , соответственно оси и оси . Точка , не принадлежащая ни оси , ни оси , называется единичной. Заметим, что шкала проективных координат зависит от выбора точки . Рассмотрим точку , которая произвольно расположена на проективной плоскости. Положение точки на проективной плоскости определится проекциями данной точки на соответствующие оси проективной (неоднородной) системы координат. Пусть - проекция точки из ( ) на ось , а из ( ) на ось . Точк а в проективной системе координат на оси имеет некоторую координату , а точка на оси имеет координату . Значения к оординат, соответствующие точкам и , являются неоднородными координатами точки на проективной плоскости. Каждая точка, принадлежащая оси будет иметь координаты ( ), а каждая точка оси - координаты ( ). Точки и , являющиеся проекциями единичной точки на ось и ось , соответственно будут иметь координаты (1,0) и (0,1). Если точка расположена на несобственной прямой, то у нее, как известно, отсутствуют неоднородные проективные координаты. Чтобы исправить это положение, на проективной п лоскости вводят систему однородных проективных координат. Введем на проективной плоскости однородные проективные координаты и заодно установим их связь с двойным отношением. За неоднородные проективные координаты произвольной точки на прямой , с тремя заданными на ней базисными точками, принимают число, равное двойному отношению. Принимая точки , , за базисные на оси , а точки , , за базисные на оси , выразим проективные координаты и точки двойными отношениями. Согласно правилу сост авления двойного отношения (.1), будем иметь (рис..1): 50 ( 2 .22) ( 2 .23) Свойство инвариантности двойного отношения (.13) позволяет записать (рис..1) ( 2 .24) ( 2 .25) или ( 2 .26) ( 2 .27) В вы ражениях ( 2 .6) и ( 2 .7) через , , обозначены простые отношения, которые и являются однородными проективными координатами. , , ( 2 .28) Проективные координаты пропорциональны расстояниям от трех неподвижных прямых , 51 Рис..1 Система проективных координат умноженным на постоянные множители (рис..13). Из подобных треугольников следует, что (2.29) Сравнив формулы (. 8) и (.9), получим однородные координаты точки в виде отношений: (2.30) 52 Рис..13. Проективные координаты. Пропорциональность п роективных координат расстояниям от трех координатных прямых. Из этих выражений видно, что однородны проектив ные координаты , , точки действительно пропорциональны расстояниям точки от трех координатных прямых и являются отношениями расстояний от точек и до сторон координатного треугольника с вершинами , , . Обозначим аффинные координаты точек , , , , соответственно через ( ),( ),( ),( ),( ). Тогда, как известно из аналитической гео метрии, отношение расстояний точек и до прямых , , можно определить как отношения определителей третьего порядка 53 (2.31) Формулам (.31) может быть дана пространственная интерпретация. Рассмотрим связку векторов , , , , совместно с пространственной системой координат ( , , ),(рис..14). Векторы берут начало в некото рой точке ( , , ), не лежащей в плоскости , концы векторов определяются точками плоскости . Пусть векторы ( = 1,,3,4) будут базисными векторами. Тогда для проективных координат , , точки плоскости будут иметь ме сто следующие выражения. (1.32) В выражениях (.3) в числителе и знаменателе суть смешанные произведения, составленны е из векторов , , , , . Чтобы знаменатели в (.3) были отличны от нуля, три вектора, составляющие его, не должны быть компланарными. Формулы (.3) интересны тем, что модули первых трех векторов, т.е. , , , сокращаются, так как они содержатся как в числителе, так и в знаменателе. Поэтому, координаты , , можно назвать инвариантными относительно модулей этих векторов [6]. 54 Смешанные произведения векторов в (.3) можно записать при помощи определителей третьего порядка. Путем элементарных преобразований опред елителей исключаются координаты центра проекции и выражения (.3) приводятся к виду (.31). Анализ векторных равенств (.3) позволяет сделать вывод о том, что проективные координаты не зависят от выбора начала векторов , , , , вне плоскости и выбора системы координат. Естественным образом будем считать векторы , , , , за однородные векторы, которым соответствуют тройки чисел ( ), где = const, например, 1, , = 0,1,2,3,4. (2.33) В практике обработки снимков измеренные координаты изображений точек дополняют третьей координатой =1 и тройку чисел считают за векторы (1.34), из которых строятся проективные координаты. Заменяя в проективных координатах (.33) вектор последовательно векторами , , , , получим соответственно четыре тройки координат ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, ) и (1, 1, 1). Этим координатам соответствуют четыре точки (рис ..14), из которых три первые - базисные, а четвертая - единичная. 55 Рис..14 Векторная интерпретация проективных координат Сравнение формул (.3) для проективных координат с формулами двойного отношения четырех плоск остей пучка позволяет установить следующие зависимости: ; ; . (2.34) Такова связь между однородными проективными координатами точки плоскости и двойным (ангармоническим) отношением. 56 .6. Определение сферических координат объекта с использованием векторной интерпретации проективных координат. Способ Ю.М. Тр унина. Способ обработки снимков звездного неба, основанный на векторной интерпретации проективных координат, был предложен Ю.М. Труниным. Пусть в инерциальной (квазиинерциальной) системе координат по данным звездного каталога и в результате вычислений полу чены видимые координаты опорных звезд (рис. .15). Число таких опорных звезд для одного снимка (астронегатива) должно быть четыре. Поскольку проективная система координат задается именно 4 точками. Составим 4 - е единичных вектора, определяющих направления на эти опорные звезды: (2.35) Рис. .15. Снимок звездного неба. 57 Пусть на снимке измерены координаты изображений этих опорных звезд и определяемого объекта. Из них можно составить однородные векторы изображений: (2.36) В соответствии с вышеизложенной теорией проективных преобразований этих данных достаточн о для определения направления на объект: , (2.37) или , (2.38) где -- смешанные произведения еди ничных векторов опорных звезд (2.39) -- проективные координаты (2.40) 58 ЛИТЕРАТУРА 1. Блажко С.Н. Курс практической астрономии. - М.: Наука, 1979,43 с. . Богуславская Е.Я. Фотографическая астрометрия. - М. - Л.: Гостехиздат, 1974, 34 с. 3. Безменов В.М. Алгоритмы уравнительных вычисл ений при проективных преобразованиях астронегатива //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1991, - N 3, - с.64 - 73. 4. Безменов В.М. Некоторые результаты исследований алгоритмов уравнительных вычислений при проективных преобразованиях астроне гативов //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 1991, - N 6 , с. 84 - 89 . 5. Губанова Е.П. Некоторые результаты исследования проективного метода редукции астронегативов. //Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1978, - N 3, - с.47 - 52. 6. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. - М. - Л.: ОНТИ, 1963, 344 с. 7. Киселев А.А. Теоретические основы фотографической астрометрии. - М.:Наука, 1989, 64 с. 8.Клейн Ф. Высшая геометрия. - М. - Л.: ГОНТИ, 1939, 399 с. 9.Урмаев М.С. К осмическая фотограмметрия. - М.: Недра, 1989, 79 с. 59 Лабораторная работа ‬ 1. Прямое определение элементов ориентирования космического снимка 1. Общие указания . В данной л абораторной работе рассматривается способ прямого определения угловых элементов ориентирования космического снимка -- геометрический способ. Данный способ основан на использовании аппарата алгебры кватернионов и служит для предварительного определения углов ых элементов ориентирования. . Исходные данные. Исходные данные -- координаты изображений и сферические координаты звезд , относящиеся к макетным снимкам с угловыми элементами внешнего ориентирования и элементами внутреннего ориентирования: 350,0мм., . Номера вариантов определяются согласно Таблице 1. 1 Таблица 1. 1 Координаты изображений звезд № варианта x (мм) y (мм) № варианта x (м м) y (мм) 1 62 .1564 8.7937 89.8003 18.2338 10 65.1048 9.0074 94.0670 24.0366 2 59.0466 7.9472 98.4667 24.6630 11 63.4532 8.5865 95.1889 24.1902 3 55.6460 6.8780 107.1095 31.0881 12 61.7822 8.1630 96.2818 24.3364 60 4 65.2526 9.4247 87.5764 17.9158 13 60. 0925 7.7371 97.3454 24.4751 5 62.4471 8.8031 96.3460 24.3707 14 58.3844 7.3087 98.3793 24.6064 6 60.3591 8.2612 90.8447 18.3675 15 56.9886 7.1966 99.4357 24.7669 7 30.9790 3.7944 105.6947 20.5786 16 55.5742 7.0817 100.4674 24.9254 8 54.5870 6.1286 100. 2930 24.7988 17 53.8123 6.6456 101.4220 25.0452 9 54.3240 5.6034 106.8973 30.9331 18 55.2445 6.7633 100.4151 24.8887 Таблица 1. 2 Сферические координаты опорных звезд № звезды градусы минуты секунды град усы минуты секунды 10 1 47 7.4334 - 1 17 42.5526 20 1 27 49.1316 - 1 32 19.9080 3. Порядок выполнения работы. Вычислительные формулы. При рассмотрении порядка выполнения лабораторной работы используется контрольный пример со следующими исходными дан ными: 61 Таблица 1.3 Сферические координаты опорных звезд контрольного примера № x y часы минуты секунды градусы минуты секунды 1 17.1418 38.2142 17 09 39.32 - 60 19 07.02 2 28.1070 6.2317 17 05 41.45 - 5 1 15 07.86 Чтобы определить угловые элементы ориентирования снимка, нужно использовать следующий алгоритм. 3.1. Направление оси первого вращения представим в виде векторного произведения единичных векторов направлений на первую опорную звезду в системе координат снимка и в инерциальной системе координат . Угол поворота пространства определится из скалярного произведения векторов и : или в координатной форме Направление оси вращения представим в виде векторного произведения векторов и : , 62 т.е. ; ; , Причем . 3.. Первому повороту соответствует кватернион: где , а норма кватерниона . При этом нормированный кватернион будет следующим: . 3.3. Второму повороту соответствует кватернион: где , а норма кватерниона . При этом нормированный кватернион будет следующим: . Вычислим координаты второй звезды в ИСК. 3.4. Выполним в соответствии с правилами кватернионного умножения первое преобразование: , 63 в результате получим вектор в промежуточной системе координат. 3.5. Умножив кватернионно этот вектор на кватернион , найдем вектор второй звезд ы в ИСК. . Сравнивая результат второго умножения с исходными данными, констатируем их совпадение. 3.6. Умножение по правилу (1.11) определяет значение кватерниона , осуществляющего орто гональное преобразование: 3.7. Выразим элементы ортогональной матрицы по формуле (1.35) через параметры кватерниона ‬ родригесова форма ортогональной матрицы: . 3.8. Определим по формулам (8) углы ориентирования снимка (углы Эйлера ) через элементы матрицы 64 Контрольная работа ‬ 2. Определение сферических координат объекта из обработки снимка звездного неба 1. Общие указания . Определение сферических координат объекта выполняется с использованием прямого метода ‬ метода Ю.М. Трунина, основанного на векторной интерпретации проективных коо рдинат. Номера вариантов определяются согласно Таблице 2 . 1. Таблица 2 . 1 Варианты задания Измерение - 1 Измерение - 2 Номер варианта Опорные звезды Номер варианта Опорные звезды 1 1,2,18,14 9 1,2,18,14 2 3,7,20,17 10 3,7,20,17 3 6,5,11,13 11 6 ,5,11,13 4 9,17,15,10 12 9,17,15,10 5 9,11,13,10 13 9,11,13,10 6 1,2,18,17 14 1,2,18,17 7 3,7,15,14 15 3,7,15,14 8 6,5,12,20 16 6,5,12,20 При выполнении работы необходимо учесть следующие нелинейные искажающие факторы: радиальную дисторсию, дифферен циальную рефракцию аберрацию, собственные движения звезд. При вычислении поправок за дифференциальную рефракцию, 65 дифференциальную аберрацию и дисторсию в качестве номинальных значений координат главной точки снимка принять значения, приведенные в при ложении к Таблице . Поправки за дисторсию децентрации не вычисляются. . Исходные данные Основой для выполнения лабораторной работы являются результаты весьма тщательных измерений снимка звездного неба. Исследуемым объектом является Плутон, изображение которого находится вблизи главной точки снимка . Наблюдательный материал получе н на широкоугольном астрографе , имеющем следующие основные характеристики: фокусное расстояние = 300 мм, диаметр объектива = 30 мм, поле зрения , масштаб = 90"/мм, коэффициент радиальной (Гауссовой) дисторсии Снимок измерялся дважды: после первого измерения снимок разворачивался на 180. Результаты измер ений представлены в Табл. . 2. Экваториальные координаты опорных звѐзд и их собственные движения выбраны соответственно из каталога AK3R и AK3RN. Значения экваториальных координат опорных звѐзд и их собственные движения приведены в Табл.3. Распо ложение опорных звѐзд и исследуемого объекта (Плутона) показано на Рис.1. 66 Рис.1. Расположение опорных звезд и определяемого объекта ( Плутон ) , на снимке звездного неба 67 Таблица 2 . 2 Измеренные координаты изображений опорных звѐзд и объекта ( Плутон ) Номер звезды В Д Измерение - 1 Измерение - 2 Х мм. Y мм. Х мм. Y мм. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 PL +01 3018 - 02 3 937 - 00 2921 - 00 2923 - 01 3020 +00 3304 - 03 3730 - 00 2936 - 03 3740 +00 3318 - 01 3035 - 01 3041 - 00 2946 +01 3052 - 00 2948 +01 3057 +01 3059 +01 3972 - 01 3047 +00 3348 588.6650 588.0554 578.4545 566.2952 552.5332 548.1926 541.7933 522.6258 511.8 495 495.9718 482.5553 472.8403 471.0242 462.0989 445.4292 440.9345 438.0628 435.9561 414.4459 410.7497 498.4684 109.9109 272.8459 182.0308 175.7015 237.9512 144.6182 296.5492 181.1656 289.0167 161.2769 242.9423 242.8920 193.1380 114.0900 185.6414 113.6798 108.4260 258.5274 243.0668 155.5384 198.5860 408.9007 410.1135 419.3831 431.5079 445.5040 449.4979 456.4603 475.2014 486.3749 501.7846 515.4927 525.2115 526.8435 535.4748 552.4131 556.6465 559.4964 562.1528 583.6075 586.9804 499.4225 287.7287 124.8026 215.6427 222.0131 159.8190 253.1687 101.2578 216.7056 108.9044 236.7038 155.0827 155.1695 204.9228 284.0073 212.5107 284.4941 289.7527 139.6679 155.2073 242.7496 199.3807 Примечания: Дата наблюдений: 16 мая 1990 г.; UT = 18 43 - 19 13 . Координаты места наблюдения: = ; = 4 27 36 ; = 800 м. Координаты центра фотографирования: = 15 10; = - 1 10. Коэффициент дисторсии: Координаты центра фотографирования: измерение 1 - = 498,4684; = 198,5860; измерение 2 - = 499,4225; = 199,3806 мм. 68 Таблица 2.3 . Значения экваториальных координат опорных звѐзд на снимке с изображением планеты Плутон № В Д 1950.0 AGK3R 1950.0 AGK3R AGK3RN AGK3RN Эпоха наблюдения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 +01 3018 - 02 3937 - 00 2921 - 00 2923 - 01 3020 +00 3304 - 03 3730 - 00 2936 - 03 3740 +00 3318 - 01 3035 - 01 3041 - 00 2946 +01 3052 - 00 2948 +01 3057 +01 3059 - 02 3972 - 01 3047 +00 3348 7.0 8.6 8.0 8.9 8.4 7.9 7.6 7.6 8 .6 7.5 9.1 7.9 8.3 7.2 7.2 9.0 7.0 8.0 6.4 8.4 KO A2 AO KO K2 KO K2 FO F 5 K5 K5 M3 AO KO G5 K KO F8 K2 G5 15 h 00 m 49 s .496 15 h 00 m 52 s .282 15 01 50.015 15 03 02.776 15 04 24.830 15 04 51.127 15 05 28.986 15 07 24.015 15 08 28.188 1 5 10 03.461 15 11 23.809 1 5 12 21.897 15 12 32.756 15 13 25. 88 15 15 05.948 15 15 32.692 15 15 49.676 15 16 02.626 15 18 11.892 15 18 33.066 +1 0 05 05.72 - 2 0 58 23.94 - 0 42 40.85 - 0 33 13.53 - 2 06 20.96 0 13 14. 48 - 3 33 57.50 - 0 41 25.93 - 3 22 43.88 - 0 11 40.86 - 2 13 52.07 - 2 13 46.61 - 0 59 21.08 +0 58 54.22 - 0 48 10.05 +0 59 26.12 +1 07 16.31 - 2 37 07.25 - 2 13 55.11 - 0 03 07.71 - 0 s .059 - 0 s .326 +0.090 - 0.138 - 0.096 - 0.008 - 0.228 - 0.385 +0.254 +0.0 22 - 0.277 - 0.038 - 0.191 +1.199 - 0.206 - 0.245 +0.218 +0.267 - 1.766 +0.134 - 0″ .64 - 3 ″ .59 - 0. 23 +0.99 +0.33 +0.53 +0.53 - 0.68 - 0.59 - 1.39 - 0.85 - 3.15 - 2.34 - 14.83 - 0.19 - 1.27 - 2.50 - 5.86 - 18.08 - 1.93 1958.83 58.65 58.14 59.35 58.32 58 .97 58.39 57.89 57.70 58.06 58.62 58.36 59.14 59.03 58.43 59.05 58.36 58.43 58.32 58.41 1958.17 58.63 57.99 59.36 58.28 58.87 58.46 57.89 57.81 57.93 58.86 58.48 59.48 59.82 58.42 59.18 58.53 58.12 58.01 58.63 69 3. Порядок выполнения работы. Вычислительные формулы. 3.1. Учет дифференциальной рефракции и аберрации: Дифференциальная рефракция и дифференциальная аберрация вызывают изменение взаимного расположения звѐзд в поле изображения. При этом величина смещения зависит от зенитного расстояния и от расположения светил относительно апекса. Поправки за действие дифференциальной р ефракции и аберрации в непосредственно измеренные координаты изображений звѐзд необходимо получить, используя следующие формулы [10]: В выражениях и приняты следующие обозн ачения: , - координаты изображения звѐзды, отнесенные к главной точке снимка; - фокусное расстояние съемочной камеры; - коэффициент рефракции; , , где - зенитное расстояние оптического центра; - параллактический угол. 3.. Учет дисторсии: Поправки за совместное влияние радиальной дисторсии и дисторсии децент рации в координаты изображений определить по формулам Д.Брауна : 70 где ,... - коэффициенты радиальной дисторсии; , ,... - коэффициенты дисторсии децентрации; , - координаты изображения звезды, отнесенные к главной точке снимка; - расстояние до изображения звезды. Величины , , являются функциями от параметров дисторсии децентрации ; ; . 3.3. Формирование однородных векторов из ображений опорных звезд и определяемого объекта: 3.4. Вычисление проективных координат -- : Вычисление проективных координат осуществляется с использованием однородных век торов изображений опорных звезд и определяемого объекта. 3.5. Учет собственных движений звезд: Исправляют координаты опорных звезд за собс твенное движение: . Здесь и -- соответственно собственное движение звезды по прямому восхождению и склонению. Сферические координаты и - - 71 средние экваториальные координаты звезды, заданные на эпоху каталога , момент времени -- момент фотографирования. 3.6. Вычисление единичных векторов направлений на опорные звезды: Вычисляют компоненты еди ничного вектора направления на опорную звезду в средней системе координат эпохи , исправленные за собственные движения звезды: 3.7 . Вычисление смешанных произведений векторов направлени й на опорные звезды: 3.8. Вычисление направления на объект по формуле Ю.М. Трунина: . 3.9. Вычисление сферических координат объекта:

Приложенные файлы

  • pdf 34289808
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий