Мендель В. В. ВСЕВОЗМОЖНЫЕ БАЗИСЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ Sn+1, ИЗ n ЦИКЛОВ ДЛИНЫ ОТ 2 ДО n+1.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
ISSN 2227 - 1384 «Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом - Алейхема» № 4 (1 7 )201 4 87 УДК 512.542.1 В. В. Мендель Мендель В. В. ВСЕВОЗМОЖНЫЕ БАЗИСЫ СИММЕТ№ИЧЕСКОЙ Г№УППЫ S n+1 , ИЗ n ЦИКЛОВ ДЛИНЫ ОТ 2 Д О n+1 . В статье приводится способ нахождения некоторых базисов симметрической группы . В качестве условия взято, что элементы базиса удовлетворяют равенству . В работе описано количество таких базисов, алгоритмы их нахождени я и некоторые выводы. Ключевые слова: с имметрическая группа, цикл, базис, представление. Существует множество способов представления элементов симме т- рической группы. Одним из наиболее удобных можно считать такой, при котором каждому элементу группы соотв етствует упорядоче н- ная n - ка чисел, где на i - й позиции находится число от 0 д о i (в таком виде легко определить порядок и длину подстановки). Один из способов п о- лучить такое представление элементов группы является разложение всех ее элементов в произведен ие ци к лов соответствующих длин от 2 д о n +1, то есть представление в некотором базисе , где ( e — единичный элемент). Рассмотрим способ получ е- ния всех таких базисов и способ представлени я каждого элемента си м- метрической группы с их помощью. Для начала док ажем вспомогател ь- ное утверждение: Утверждение 1. Если элемент цикл порядка n +1. Здесь , где (транспозиция соседних элементов) и , , для i � k [1, с. 34], т о при последовательном возв е- дении элемента f в степени от 1 д о n степень старшего образующего э л е- мента будет проходить в некотором порядке, все значения от 1 д о n , при возведении f в степень n + 1 в се степени образу ю щих равны нулю. Доказательство. В элементе задающем подстановку Мендель Василий Викторович – аспирант (Дальневосточный государственный гуманитарный университет, Хабаровск); e - mail : mendel_ [email protected] . © Мендель В. В., 2014 ISSN 2227 - 1384 «Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом - Алейхема» № 4 (1 7 )201 4 88 , однозначно определяет положение символа n в этой подстановке. n находится на позиции [2, с. 299]. Так как при последовательном возв е дении цикла в степени символ n должен пройти все n позиций, то он посетит все позиции , кроме n , а значит, ст е- пени примут все значения , кроме нуля. Если возвести в степень n , то получ им единичный элемент , а зн а чит , . Утверждение доказано. Замечание. Для любого элемента , порядка k , не являющегося циклом длины n +1, возведение во все степени от 1 д о k – 1 н е даст всех степеней старшего образующего элемента. Это напрямую следует из дока з а тельства утверждения, так как символ n в таком случае включен в цикл меньшего порядка, чем n +1, а значит , не пройдет все п о- зиции от 0 д о n – 1, даже если порядок элемента f больше или равен n +1. Теперь можно доказать утверждение , при помощи которого нах о- дя тся все интересующие нас базисы: Теорема 1. Симметрическая группа имеет базисов из элементов . Доказательство. 1) Покажем, что если взять по одному любому циклу порядка , то любой элемент можно представить как последовател ь ное умножение некоторых сте пеней этих циклов. a ) Возьмем набор циклов соответствующей длины ( ). b ) Известно, что любой элемент из представим в виде . c ) Согласно предыдущему утверждению для каждого элемента существует такая степень , что . Домножая, для любого i , справа на элемент , будем получать до тех пор , пока не получим разложение изначального элемента в пр о- изведение степеней . Из a ) - c ) следует, что любой элемент группы представим в виде , где циклы соответствующих длин. Из предыдущ е- го утверждения следует, что если в качестве выступает не цикл длины i +1, то в таком виде можно представить не все элементы группы . 2) Пользуясь формулой для определения количества элементов з а- данной циклической структуры [3, с. 171] , имеем, что в группе ровно ISSN 2227 - 1384 «Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом - Алейхема» № 4 (1 7 )201 4 89 циклов длины i . Это значит, что существует способов в ы- брать базис в группе . Теорема доказана. Замечание. В доказательстве предоставляется способ перехода от системы образующих элементов к произвольному базису эл е- ментов . Опираясь на вышеизложенный материал , можно составить алг о- ритм (и соответственно программу) для поиска всех таких базисов нек о- торой симметрической группы. Алгоритм 1. Нахождение всевозможных базисов. 1) Задаем элементы . 2) Для каждого из них находим множество , всех сопр я- женных (любым известным спос обом на наше усмотрение). 3) Для каждого элемента из последовательно подста в- ляем в базис на i + 1 м есто все элементы из , т о есть генерируем всево з- можные сочетания элементов из множеств (по одному из ка ж дого). Алгоритм 2. Нахождение представления элемент а в н о вом базисе. 1) Задаем базис группы S n +1 : . 2) Начиная с n , для каждого элемента находим степень образующего , такую, что степени старших образующих совпадают. 3) Получаем как произведение . 4) Полученный набор и есть степени базисных элементов . Рассмотрим группу , она имеет 1 2 б азисов, удовлетворяющих нашим условиям. Выпишем их в таблицу вместе со значениями, опред е- ляющими взаимодействие базисных элементов между собой . Как видно, существует всего 6 качественно различных базисов гру п- пы , то есть таких, где взаимодействия между соответствующими п а- рами различны. Совпадающие базисы можно рассмотреть на примере. Запишем подстановки, соответствующие первому и второму базису: 1) , , ; ISSN 2227 - 1384 «Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом - Алейхема» № 4 (1 7 )201 4 90 Таблица № Базисные элементы Взаимодействие элементов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2) , , . Заметим, что если во втором базисе все 0 з аменить на 1 и наоборот, то получим подстановки , соответствующие первому базису. Так как др у- гой способ перенумеровывания неприемлем для , то можно утверждать, что симметрическая группа имеет качестве н но различных базисов . Таким образом, нами получен способ нахожд ения всевозможных б а- зисов симметрической группы , удовлетворяющих условиям . С ПИСОК ЛИТЕ№АТУ№Ы 1. Казинец В. А. Копредставление симметрической группы // XXXIV Дальневосто ч- ная математическая школа - семинар имени академика Е. В. Золотова «Фундаме н- тальные про блемы математики и информационных наук»: тезисы докладов / Хабаровск: Изд - во Т и хоокеан. гос. ун - та, 2009. С. 33 — 35. ISSN 2227 - 1384 «Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом - Алейхема» № 4 (1 7 )201 4 91 2. Мендель В. В. Ум ножение в симметрической группе в терминах порождающий и соотношений // Сборник статей аспирантов и студентов Дальневосточн о- го государственного гуманитарного университета . Хабаровск: и зд - во ДВГГУ , 2012. С. 297 — 303. 3. Фробениус Г. Те ория характеров и представлений групп. Харьков: Н а учно - техническое изд - во, 1937. 21 4 с . * * * Mendel Vasili i V. VARIOUS BASES OF THE SYMMETRIC GROUP S n+1 , FROM n CYCLES OF LENGTH FROM 2 TO n+1 . (Far Easten State University of Humanities, Khabarovsk) The article provides a way of finding some bases of the symmetric group . As a condition is taken that the elements of the basis satisfy the equation . The article describes a number of such bases, algorithms for finding them and some conclusions. Key words: Symmetric group, cycle, basis, representation. R EFERENCES 1. V. ppy]. XXXIV Dal'nevostochnaya matematicheskaya shkola - seminar imeni akademika E. V. Zolotova «Fundamental'nye problemy matematiki i informatsionnykh nauk»: tezisy dokladov (Far Eastern Mathematical School Seminar, named after E. V. Zolotov "Fundamental Pro blems of Mathematics and Info r- mation Science": Book of abstracts). Khabarovsk, TOGU Publ., 2009, pp. 33 — 35. 2. Mendel V. Relations shchiy i sootnosheniy ]. Sbornik statey aspirantov i studentov Dal'nevostochnogo ( Collection of Articles by Postgraduate Students of the Far Eastern State University of Humanities ). Kh a barovsk , DVGGU Pu b l. , 2012 , pp. 297 — 303. 3. Frobenius G. Teoriya kharakterov i predstavleniy grupp ( The Theory of Characters and Group Representations ), Kharkov, Sc i entific and Technical Publ ., 1937. 214 p. * * *

Приложенные файлы

  • pdf 42086212
    Размер файла: 377 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий