Мендель В. В. ВСЕВОЗМОЖНЫЕ БАЗИСЫ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ Sn+1, ИЗ n ЦИКЛОВ ДЛИНЫ ОТ 2 ДО n+1.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ISSN

2227
-
1384
«Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом
-
Алейхема»



4
(1
7
)201
4

87

УДК 512.542.1

В.

В.

Мендель

Мендель В.

В.



ВСЕВОЗМОЖНЫЕ

БАЗИСЫ СИММЕТ№ИЧЕСКОЙ Г№УППЫ
S
n+1
,
ИЗ
n

ЦИКЛОВ ДЛИНЫ ОТ
2

Д
О
n+1
.

В статье приводится способ нахождения некоторых базисов симметрической группы
. В
качестве условия взято, что элементы базиса

удовлетворяют равенству
. В работе описано количество таких базисов, алгоритмы их нахождени
я и
некоторые выводы.

Ключевые слова:
с
имметрическая группа, цикл, базис, представление.

Существует множество способов представления элементов симме
т-
рической группы. Одним из наиболее удобных можно считать такой,
при котором каждому элементу группы

соотв
етствует упорядоче
н-
ная
n
-
ка чисел, где на
i
-
й позиции находится число от
0

д
о
i

(в таком виде
легко определить порядок и длину подстановки). Один из способов п
о-
лучить такое представление элементов группы

является разложение
всех ее элементов в произведен
ие ци
к
лов соответствующих длин от
2

д
о
n
+1, то есть представление в некотором базисе
, где

(
e



единичный элемент). Рассмотрим способ получ
е-
ния всех таких базисов и способ представлени
я

каждого элемента си
м-
метрической группы с их помощью.

Для начала док
ажем вспомогател
ь-
ное утверждение:

Утверждение 1.

Если элемент

цикл порядка
n
+1. Здесь
, где

(транспозиция соседних элементов) и
,
,

для
i

k

[1, с. 34], т
о при последовательном возв
е-
дении элемента
f

в степени от
1

д
о
n

степень старшего образующего э
л
е-
мента

будет проходить в некотором порядке, все значения от
1

д
о
n
,
при возведении
f

в степень
n
+
1

в
се степени образу
ю
щих равны нулю.

Доказательство.

В элементе

задающем подстановку
Мендель Василий Викторович



аспирант (Дальневосточный государственный гуманитарный
университет, Хабаровск);
e
-
mail
:
mendel_
[email protected]
.

© Мендель

В.

В., 2014

ISSN

2227
-
1384
«Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом
-
Алейхема»



4
(1
7
)201
4

88

,

однозначно определяет положение символа
n

в
этой подстановке.
n

находится на позиции

[2, с. 299]. Так
как при последовательном возв
е
дении цикла в степени символ
n

должен
пройти все
n

позиций, то он посетит все позиции
,

кроме
n
, а значит, ст
е-
пени

примут все значения
,

кроме нуля. Если возвести

в
степень
n
,

то получ
им единичный элемент
,

а зн
а
чит
,

.

Утверждение доказано.

Замечание.
Для любого элемента
, порядка
k
, не
являющегося циклом длины
n
+1, возведение во все степени от
1

д
о
k

1

н
е
даст всех степеней

старшего образующего элемента. Это напрямую
следует из дока
з
а
тельства утверждения, так как символ
n

в таком случае
включен в цикл меньшего порядка, чем
n
+1, а значит
,

не пройдет все п
о-
зиции от
0

д
о
n

1, даже если порядок элемента
f

больше или равен
n
+1.

Теперь можно доказать утверждение
,

при помощи которого нах
о-
дя
тся все интересующие нас базисы:

Теорема 1.

Симметрическая группа

имеет

базисов из
элементов
.

Доказательство.

1) Покажем, что если взять по одному любому циклу порядка
, то любой элемент можно представить как последовател
ь
ное
умножение некоторых сте
пеней этих циклов.

a
) Возьмем набор

циклов соответствующей
длины (
).

b
) Известно, что любой элемент из

представим в виде
.

c
) Согласно предыдущему утверждению для каждого элемента

существует такая степень
, что
. Домножая,
для любого
i
,

справа на
элемент
, будем получать

до тех пор
,

пока не получим разложение изначального элемента в пр
о-
изведение степеней
.

Из
a
)
-
c
) следует, что любой элемент группы

представим в виде
, где

циклы соответствующих длин. Из предыдущ
е-
го утверждения следует, что
если в качестве

выступает не цикл длины
i
+1, то в таком виде можно представить не все элементы группы
.

2) Пользуясь формулой

для определения количества элементов з
а-
данной циклической структуры [3, с. 171]
,

имеем, что в группе

ровно
ISSN

2227
-
1384
«Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом
-
Алейхема»



4
(1
7
)201
4

89


циклов длины
i
.
Это значит, что существует

способов в
ы-
брать базис

в группе
.

Теорема доказана.

Замечание.

В доказательстве предоставляется способ перехода от
системы образующих элементов

к произвольному базису эл
е-
ментов
.

Опираясь на вышеизложенный материал
,

можно

составить алг
о-
ритм (и соответственно программу) для поиска всех таких базисов нек
о-
торой симметрической группы.

Алгоритм 1.

Нахождение всевозможных базисов.

1)

Задаем элементы
.

2)

Для каждого из них находим множество
,

всех сопр
я-
женных (любым известным спос
обом на наше усмотрение).

3)

Для каждого элемента из


последовательно подста
в-
ляем в базис на
i
+
1

м
есто все элементы из
, т
о
есть

генерируем всево
з-
можные сочетания элементов из множеств

(по одному из ка
ж
дого).

Алгоритм 2.

Нахождение представления элемент
а

в н
о
вом
базисе.

1)

Задаем базис группы
S
n
+1
:
.

2)

Начиная с
n
, для каждого элемента

находим степень

образующего
, такую, что степени старших образующих

совпадают.

3)

Получаем

как произведение
.

4)

Полученный набор

и есть степени базисных элементов
.

Рассмотрим группу
, она имеет 1
2

б
азисов, удовлетворяющих
нашим условиям. Выпишем их в таблицу вместе со значениями, опред
е-
ляющими взаимодействие базисных элементов между собой
.

Как видно, существует всего 6

качественно различных базисов гру
п-
пы
, то есть

таких, где взаимодействия между соответствующими п
а-
рами

различны. Совпадающие базисы можно рассмотреть на
примере. Запишем подстановки, соответствующие первому и второму
базису:

1)
,
,
;

ISSN

2227
-
1384
«Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом
-
Алейхема»



4
(1
7
)201
4

90

Таблица



Базисные элементы

Взаимодействие элементов







1







2







3







4







5







6







7







8







9







10







11







12








2)
,
,
.

Заметим, что если во втором базисе все
0

з
аменить на
1

и

наоборот,
то получим подстановки
,

соответствующие первому базису. Так как др
у-
гой способ перенумеровывания
неприемлем для
, то можно
утверждать, что симметрическая группа

имеет

качестве
н
но
различных базисов
.

Таким образом, нами получен способ нахожд
ения всевозможных б
а-
зисов

симметрической группы
,

удовлетворяющих условиям
.

С
ПИСОК ЛИТЕ№АТУ№Ы

1.

Казинец В.

А.

Копредставление симметрической группы //
XXXIV

Дальневосто
ч-
ная математическая школа
-
семинар имени академика Е.

В.

Золотова «Фундаме
н-
тальные про
блемы математики и информационных наук»: тезисы докладов /
Хабаровск: Изд
-
во Т
и
хоокеан. гос. ун
-
та, 2009. С. 33

35.

ISSN

2227
-
1384
«Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом
-
Алейхема»



4
(1
7
)201
4

91

2.

Мендель
В.

В.

Ум
ножение в симметрической группе в терминах порождающий
и соотношений

//

Сборник статей аспирантов и студентов
Дальневосточн
о-
го
государственного гуманитарного университета
.

Хабаровск:
и
зд
-
во ДВГГУ
,

2012.

С. 297

303.

3.

Фробениус
Г.

Те
ория характеров и представлений групп.

Харьков:
Н
а
учно
-
техническое изд
-
во, 1937.

21
4

с
.

*

*

*

Mendel Vasili
i

V.

VARIOUS BASES OF THE SYMMETRIC GROUP
S
n+1
,

FROM
n

CYCLES OF LENGTH FROM 2 TO
n+1
.

(Far Easten State University of Humanities, Khabarovsk)

The article provides a way of finding some bases of the symmetric group
. As a condition is
taken that the elements of the basis

satisfy the equation
.

The article
describes a number of such bases, algorithms
for finding them

and some conclusions.

Key

words:

Symmetric group, cycle, basis, representation.

R
EFERENCES

1.


V.

ppy].
XXXIV Dal'nevostochnaya matematicheskaya shkola
-
seminar imeni akademika E. V. Zolotova «Fundamental'nye problemy matematiki i
informatsionnykh nauk»: tezisy dokladov

(Far Eastern Mathematical School Seminar,
named after E.

V.

Zolotov "Fundamental Pro
blems of Mathematics and Info
r-
mation Science": Book of abstracts). Khabarovsk, TOGU Publ., 2009, pp. 33

35.

2.

Mendel

V.

Relations

shchiy
i sootnosheniy
].

Sbornik statey aspirantov i studentov Dal'nevostochnogo

(
Collection of Articles by Postgraduate
Students of the Far Eastern State University of Humanities
).

Kh
a
barovsk
,

DVGGU

Pu
b
l.
,

2012
,

pp.

297

303.

3.

Frobenius G.
Teoriya kharakterov i predstavleniy grupp

(
The Theory of Characters and
Group Representations
),

Kharkov,

Sc
i
entific and Technical Publ
.,

1937. 214 p.

*

*

*


Приложенные файлы

  • pdf 42086212
    Размер файла: 377 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий